Translations — exercices corrigés

Dans le plan, on considère un triangle $ABC$ non aplati.

Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que :
$$\vec{MM'} = 2\vec{MA} + 3\vec{MB} - 5\vec{MC}$$

1. 1). Déterminer l'expression du vecteur $\vec{AA'}$ en fonction uniquement de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, où $A' = f(A)$.

   Indice — Que devient l'égalité vectorielle pour $M = A$ sachant que $\vec{AA} = \vec{0}$ ?

   Correction

   En substituant $M$ par $A$ dans la relation de définition de $f$, on a $\vec{AA'} = 2\vec{AA} + 3\vec{AB} - 5\vec{AC}$. Comme $\vec{AA} = \vec{0}$, on obtient directement : $\vec{AA'} = 3\vec{AB} - 5\vec{AC}$.

2. 2). Déterminer l'expression du vecteur $\vec{BB'}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, où $B' = f(B)$.

   Indice — Exprime $\vec{BC}$ sous la forme $\vec{BA} + \vec{AC}$ après avoir substitué $M$ par $B$.

   Correction

   Pour $M = B$, l'égalité devient $\vec{BB'} = 2\vec{BA} - 5\vec{BC}$. En exprimant ces vecteurs en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ via la relation de Chasles ($\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$), on simplifie pour obtenir : $\vec{BB'} = 3\vec{AB} - 5\vec{AC}$.

3. 3). Comparer les vecteurs $\vec{AA'}$ et $\vec{BB'}$. Que peut-on conjecturer concernant l'application $f$ ?

   Indice — Compare les expressions simplifiées de $\vec{AA'}$ et $\vec{BB'}$ obtenues aux questions précédentes.

   Correction

   On constate que $\vec{AA'} = \vec{BB'} = 3\vec{AB} - 5\vec{AC}$. Le vecteur $\vec{MM'}$ restant identique pour différents points, on peut conjecturer que $f$ est la translation de vecteur $3\vec{AB} - 5\vec{AC}$.

4. 4). Calculer la somme des coefficients de la combinaison vectorielle $2\vec{MA} + 3\vec{MB} - 5\vec{MC}$. Peut-on définir un barycentre pour les points pondérés $(A, 2)$, $(B, 3)$ et $(C, -5)$ ? Justifier.

   Indice — Quelle est la condition nécessaire sur la somme $a+b+c$ pour que le barycentre de $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$ existe ?

   Correction

   La somme des coefficients est $2 + 3 + (-5) = 0$. Un barycentre n'existe que si la somme des coefficients associés est non nulle. On ne peut donc pas définir de barycentre pour le système de points pondérés $(A, 2)$, $(B, 3)$ et $(C, -5)$.

5. 5). Pour un point $M$ quelconque du plan, exprimer le vecteur $\vec{MM'}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en introduisant le point $A$ à l'aide de la relation de Chasles.

   Indice — Écris $\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}$ et $\vec{MC} = \vec{MA} + \vec{AC}$ dans l'expression de $\vec{MM'}$.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles pour introduire le point $A$, on écrit $\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}$ et $\vec{MC} = \vec{MA} + \vec{AC}$. L'expression devient : $\vec{MM'} = 2\vec{MA} + 3(\vec{MA} + \vec{AB}) - 5(\vec{MA} + \vec{AC})$. Les termes en $\vec{MA}$ s'annulent car $(2 + 3 - 5)\vec{MA} = \vec{0}$, ce qui donne $\vec{MM'} = 3\vec{AB} - 5\vec{AC}$.

6. 6). En déduire la nature de l'application $f$ et caractériser son vecteur.

   Indice — Quelle est la nature d'une application $M \mapsto M'$ telle que $\vec{MM'} = \vec{u}$ avec $\vec{u}$ un vecteur constant ?

   Correction

   Le vecteur $\vec{MM'} = 3\vec{AB} - 5\vec{AC}$ est constant et indépendant de la position du point $M$. L'application $f$ est donc la translation de vecteur $\vec{u} = 3\vec{AB} - 5\vec{AC}$.

7. 7). Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. On note $I' = f(I)$, $B' = f(B)$ et $C' = f(C)$. Démontrer que $I'$ est le milieu du segment $[B'C']$.

   Indice — Pense à la conservation du milieu par une translation : si $I$ est le milieu de $[BC]$, que dire de son image par rapport aux images de $B$ et $C$ ?

   Correction

   Toute translation est une transformation affine qui conserve le milieu. Les points $I'$, $B'$ et $C'$ étant les images respectives de $I$, $B$ et $C$ par la translation $f$, la propriété de conservation garantit que $I'$ est le milieu du segment $[B'C']$.

Soit $ABC$ un triangle non aplati du plan. On considère la translation $t_{\vec{AB}}$ de vecteur $\vec{AB}$.

1. 1). Soient $A'$ et $B'$ les images respectives des points $A$ et $B$ par la translation $t_{\vec{AB}}$. Déterminer le vecteur $\vec{AA'}$ (en déduire la position de $A'$) et exprimer le vecteur $\vec{BB'}$ en fonction de $\vec{AB}$.

   Indice — Écris la relation vectorielle définissant $t_{\vec{AB}}(A) = A'$ sous la forme $\vec{AA'} = \dots$

   Correction

   Par définition de la translation $t_{\vec{AB}}$ :
   - $t_{\vec{AB}}(A) = A' \iff \vec{AA'} = \vec{AB}$. Le point $A'$ se confond donc avec le point $B$ ($A' = B$).
   - $t_{\vec{AB}}(B) = B' \iff \vec{BB'} = \vec{AB}$.

2. 2). Déterminer l'image de la droite $(AB)$ par la translation $t_{\vec{AB}}$ à l'aide des points $A'$ et $B'$. Comparer cette image avec la droite $(AB)$ elle-même.

   Indice — L'image de la droite $(AB)$ est la droite $(A'B')$. Que vaut cette droite sachant que $A' = B$ et $B' \in (AB)$ ?

   Correction

   L'image de la droite $(AB)$ par $t_{\vec{AB}}$ est la droite $(A'B')$. Comme $A' = B$ et que $\vec{BB'} = \vec{AB}$, les points $A$, $B$ et $B'$ sont alignés. L'image de la droite $(AB)$ est donc la droite $(AB)$ elle-même : elles sont confondues.

3. 3)a). Soit $C'$ l'image du point $C$ par la translation $t_{\vec{AB}}$. Déterminer l'image de la droite $(AC)$ par la translation $t_{\vec{AB}}$.

   Indice — L'image de la droite $(AC)$ est la droite $(A'C')$. Quelle est sa direction par rapport à $(AC)$ ?

   Correction

   L'image de la droite $(AC)$ par $t_{\vec{AB}}$ est la droite passante par les images de $A$ et $C$, soit la droite $(A'C')$ qui s'écrit $(BC')$. Par propriété de la translation, la droite image $(BC')$ est parallèle à la droite $(AC)$.

4. 3)b). Comparer la position relative de la droite $(AC)$ et de son image avec celle observée à la question 2) pour la droite $(AB)$.

   Indice — Compare la relation entre $(AB)$ et $t_{\vec{AB}}((AB))$ avec celle entre $(AC)$ et $t_{\vec{AB}}((AC))$.

   Correction

   Pour $(AB)$, l'image est confondue avec la droite initiale car le vecteur de translation $\vec{AB}$ dirige $(AB)$. Pour $(AC)$, le triangle $ABC$ étant non aplati, le vecteur $\vec{AB}$ n'est pas colinéaire à $(AC)$ : la droite $(AC)$ et son image $(BC')$ sont donc strictement parallèles.

5. 4). Soit $M$ un point de la droite $(AB)$ tel qu'il existe un réel $k$ vérifiant $\vec{AM} = k\vec{AB}$, et soit $M'$ son image par la translation $t_{\vec{AB}}$. Exprimer le vecteur $\vec{AM'}$ en fonction de $k$ et de $\vec{AB}$.

   Indice — Écris $\vec{AM'} = \vec{AM} + \vec{MM'}$ puis remplace $\vec{AM}$ par $k\vec{AB}$ et $\vec{MM'}$ par $\vec{AB}$.

   Correction

   Par définition de la translation $t_{\vec{AB}}$, on a $\vec{MM'} = \vec{AB}$. En utilisant la relation de Chasles, $\vec{AM'} = \vec{AM} + \vec{MM'} = k\vec{AB} + \vec{AB} = (k+1)\vec{AB}$.

6. 5). En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(AB)$. Quelle condition doit vérifier un vecteur $\vec{u}$ pour que l'image d'une droite $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{v}$ par la translation $t_{\vec{u}}$ soit la droite $\Delta$ elle-même ?

   Indice — Le point $M'$ appartient à $(AB)$ si $\vec{AM'} = \alpha \vec{AB}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$. Pour la droite $\Delta$, regarde si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même direction.

   Correction

   D'après la question précédente, $\vec{AM'} = (k+1)\vec{AB}$. Le vecteur $\vec{AM'}$ est donc colinéaire à $\vec{AB}$, ce qui montre que $M' \in (AB)$. Plus généralement, l'image d'une droite $\Delta$ par la translation $t_{\vec{u}}$ est la droite $\Delta$ elle-même si et seulement si le vecteur de translation $\vec{u}$ est colinéaire au vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite.

On considère un triangle $ABC$ non aplati du plan. On désigne par $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AC]$.

1. 1. Construire le triangle $ABC$ tel que $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 5\text{ cm}$ et $BC = 4\text{ cm}$, puis placer les points $I$ et $J$, milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AC]$.

   Indice — Utilise une règle graduée et un compas pour placer précisément les sommets du triangle, puis repère le milieu de chacun des deux côtés $[AB]$ et $[AC]$.

   Correction

   On trace le segment $[BC]$ de longueur $4\text{ cm}$, puis le point $A$ s'obtient à l'intersection des arcs de cercle de centre $B$ (rayon $6\text{ cm}$) et de centre $C$ (rayon $5\text{ cm}$). On place ensuite $I$ à $3\text{ cm}$ de $A$ sur $[AB]$ et $J$ à $2{,}5\text{ cm}$ de $A$ sur $[AC]$.

2. 2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que $\vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.

   Indice — Écris $\vec{IJ} = \vec{IA} + \vec{AJ}$ en utilisant la relation de Chasles, puis exprime $\vec{IA}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AJ}$ en fonction de $\vec{AC}$.

   Correction

   Par la relation de Chasles, $\vec{IJ} = \vec{IA} + \vec{AJ}$. Comme $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$, on a $\vec{IA} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$ et $\vec{AJ} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. On obtient $\vec{IJ} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{BC}$.

3. 3. Soient $S_I$ et $S_J$ les symétries centrales de centres respectifs $I$ et $J$. Déterminer $S_I(B)$ et $S_J(A)$, puis en déduire l'image du point $B$ par la composée $S_J \circ S_I$.

   Indice — Détermine d'abord l'image du point $B$ par $S_I$, puis applique la symétrie $S_J$ au point obtenu.

   Correction

   Par définition des milieux, la symétrie de centre $I$ envoie $B$ sur $A$ ($S_I(B) = A$) et la symétrie de centre $J$ envoie $A$ sur $C$ ($S_J(A) = C$). Par composition, $(S_J \circ S_I)(B) = S_J(A) = C$.

4. 4. On pose $f = S_J \circ S_I$. Donner la nature exacte de l'application $f$ et exprimer son vecteur en fonction de $\vec{IJ}$, puis en fonction de $\vec{BC}$.

   Indice — Rappelle-toi que la composée de deux symétries centrales de centres $I$ puis $J$ est une translation dont le vecteur s'exprime à l'aide de $\vec{IJ}$.

   Correction

   La composée $S_J \circ S_I$ de deux symétries centrales de centres $I$ et $J$ est la translation de vecteur $2\vec{IJ}$. D'après le résultat précédent, $2\vec{IJ} = \vec{BC}$, donc $f$ est la translation de vecteur $\vec{BC}$.

5. 5. Soit $g$ l'application du plan qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que :
   $$\vec{MM'} = \vec{MB} + \vec{MC} - 2\vec{MA}$$

   Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a $\vec{MM'} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

   Indice — Décompose les vecteurs $\vec{MB}$ et $\vec{MC}$ en faisant apparaître le point $A$ grâce à la relation de Chasles.

   Correction

   En introduisant le point $A$ dans les vecteurs $\vec{MB}$ et $\vec{MC}$ par la relation de Chasles, l'expression devient :
   $$\vec{MM'} = (\vec{MA} + \vec{AB}) + (\vec{MA} + \vec{AC}) - 2\vec{MA}$$
   Après simplification des termes en $\vec{MA}$, on obtient directement : $\vec{MM'} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

6. 6. En déduire la nature de l'application $g$ et préciser son vecteur $\vec{v}$.

   Indice — Vérifie si le vecteur $\vec{MM'}$ dépend ou non de la position du point $M$ pour en déduire la nature de l'application $g$.

   Correction

   Le vecteur $\vec{MM'} = \vec{AB} + \vec{AC}$ ne dépend pas du point $M$ : il est constant. L'application $g$ est donc la translation de vecteur $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

7. 7. Soit $D$ l'image du point $A$ par l'application $g$. Exprimer le vecteur $\vec{AD}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis démonter que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

   Indice — Écris l'égalité vectorielle définissant l'image $D = g(A)$, puis transforme cette égalité sous la forme $\vec{BD} = \vec{AC}$.

   Correction

   Puisque $D = g(A)$, on a $\vec{AD} = \vec{v} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

   En isolant $\vec{AC}$, il vient $\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{AC}$, soit $\vec{BD} = \vec{AC}$. Cette égalité vectorielle prouve que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Soit $ABCD$ un carré de centre $O$. On considère les cercles suivants :
- $\zeta_1$ le cercle de centre $A$ et de rayon $AO$ ;
- $\zeta_2$ le cercle de centre $B$ et de rayon $BO$ ;
- $\zeta_3$ le cercle de centre $C$ et de rayon $CO$.

On note $t_{\vec{AB}}$ la translation de vecteur $\vec{AB}$.

1. 1. Déterminer l'image du point $A$ et du point $D$ par la translation $t_{\vec{AB}}$.

   Indice — Regarde l'égalité vectorielle :
   $$\vec{AB} = \vec{DC}$$

   Correction

   Par définition de la translation de vecteur $\vec{AB}$ :
   - L'image du point $A$ est le point $B$, car $\vec{AB} = \vec{AB}$.
   - $ABCD$ étant un carré, on a l'égalité vectorielle $\vec{DC} = \vec{AB}$. L'image du point $D$ par $t_{\vec{AB}}$ est donc le point $C$.

2. 2. Déterminer le centre et le rayon du cercle $\zeta_1'$, image du cercle $\zeta_1$ par la translation $t_{\vec{AB}}$.

   Indice — Si on a :
   $$t_{\vec{AB}}(A) = B$$
   quel est le centre du cercle image ?

   Correction

   Une translation conserve les rayons et transforme le centre d'un cercle en le centre du cercle image :
   - Le centre de $\zeta_1$ est $A$. Son image par $t_{\vec{AB}}$ est $B$, qui est donc le centre de $\zeta_1'$.
   - Le rayon de $\zeta_1'$ est égal au rayon de $\zeta_1$, c'est-à-dire $AO$.

3. 3. Justifier l'égalité :
   $$AO = BO$$
   En déduire que le cercle $\zeta_1'$ est identique au cercle $\zeta_2$.

   Indice — Que peut-on dire des longueurs des segments $[AC]$ et $[BD]$ dont $O$ est le milieu ?

   Correction

   Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du carré $ABCD$ sont de même longueur et se coupent en leur milieu $O$. On a donc $AC = BD$, d'où $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = BO$.

   Le cercle $\zeta_1'$ a pour centre $B$ et pour rayon $AO$. Comme $AO = BO$, son rayon est $BO$. Il possède le même centre et le même rayon que $\zeta_2$, donc $\zeta_1'$ est identique au cercle $\zeta_2$.

4. 4. Déterminer le vecteur de la translation réciproque de $t_{\vec{AB}}$, puis déterminer l'image du point $C$ par cette translation réciproque.

   Indice — Quelle est la relation entre la translation réciproque et le vecteur $\vec{BA}$ ? Regarde l'égalité vectorielle :
   $$\vec{CD} = \vec{BA}$$

   Correction

   La translation réciproque de $t_{\vec{AB}}$ est la translation de vecteur $-\vec{AB} = \vec{BA}$.

   Dans le carré $ABCD$, on a $\vec{CD} = \vec{BA}$. L'image du point $C$ par la translation réciproque $t_{\vec{BA}}$ est donc le point $D$.

5. 5. Déterminer l'image du cercle $\zeta_3$ par la translation réciproque de $t_{\vec{AB}}$ en justifiant que son rayon est égal à $DO$.

   Indice — Compare les longueurs :
   $$CO = DO$$
   Quel est le centre de l'image de $\zeta_3$ ?

   Correction

   La translation réciproque de $t_{\vec{AB}}$ est la translation de vecteur $\vec{BA}$.

   L'image du centre $C$ par $t_{\vec{BA}}$ est le point $D$ car $\vec{CD} = \vec{BA}$. Une translation conservant les longueurs, l'image du cercle $\zeta_3$ est le cercle de centre $D$ et de rayon $CO$.

   Comme $ABCD$ est un carré de centre $O$, les longueurs de ses demi-diagonales sont égales, donc $CO = DO$. L'image de $\zeta_3$ est donc le cercle de centre $D$ et de rayon $DO$.