Arithmétique — exercices corrigés

Dans l'ensemble des entiers naturels, on s'intéresse à l'étude des multiples d'un entier et des suites arithmétiques associées pour déterminer leur nombre et leur somme dans un intervalle donné.

1. 1. Soit $(U_n)$ la suite arithmétique des multiples de 7, définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n = 7n$. Exprimer cette relation en rappelant la nature de la suite et sa raison.

   Indice — Exprime les termes de la suite sous la forme générale d'un multiple de l'entier 7 en posant un entier naturel n.

   Correction

   La suite $(U_n)$ définie par $U_n = 7n$ est une suite arithmétique de premier terme $U_0 = 0$ et de raison $r = 7$, car chaque terme s'obtient en ajoutant $7$ au précédent, ce qui se traduit par la relation de récurrence $U_{n+1} = U_n + 7$.

2. 2. Traduire l'appartenance d'un terme $U_n$ à l'intervalle $[100\,;\,1000]$ par un encadrement mathématique portant sur l'expression $7n$.

   Indice — Écris l'inégalité double traduisant l'appartenance d'un terme $U_n$ à l'intervalle $[100\,;\,1000]$.

   Correction

   L'appartenance de $U_n$ à l'intervalle $[100\,;\,1000]$ se traduit par l'inégalité double : $100 \le U_n \le 1000$. En remplaçant $U_n$ par son expression, on obtient l'encadrement : $100 \le 7n \le 1000$.

3. 3. Résoudre l'encadrement précédent afin de déterminer les valeurs décimales ou entières délimitant l'indice $n$.

   Indice — Divise les bornes de l'encadrement par 7 pour encadrer l'entier $n$.

   Correction

   En divisant les membres de l'encadrement par $7$, on isole $n$ : $\frac{100}{7} \le n \le \frac{1000}{7}$. En calculant les valeurs décimales approchées des bornes, on obtient : $14{,}28 \le n \le 142{,}85$.

4. 4. En déduire le plus petit entier $n_1$ et le plus grand entier $n_2$ tels que $U_{n_1}$ et $U_{n_2}$ soient compris dans l'intervalle $[100\,;\,1000]$.

   Indice — Déduis de l'encadrement de $n$ les valeurs entière minimale et maximale possibles pour l'indice $n$.

   Correction

   L'indice $n$ devant être un entier naturel, on cherche le plus petit entier supérieur ou égal à $14{,}28$, ce qui donne $n_1 = 15$, et le plus grand entier inférieur ou égal à $142{,}85$, ce qui donne $n_2 = 142$.

5. 5. Calculer le premier multiple $a$ et le dernier multiple $b$ de 7 appartenant strictement à l'intervalle $[100\,;\,1000]$.

   Indice — Calcule les valeurs exactes des termes $U_{n_1}$ et $U_{n_2}$ pour identifier les bornes numériques réelles dans l'intervalle.

   Correction

   Pour trouver le premier et le dernier multiple de 7 dans l'intervalle $[100\,;\,1000]$, on effectue la division euclidienne des bornes par 7 :
   - $100 = 7 \times 14 + 2$, donc le premier multiple supérieur à 100 est $a = 7 \times 15 = 105$.
   - $1000 = 7 \times 142 + 6$, donc le dernier multiple inférieur à 1000 est $b = 7 \times 142 = 994$.

6. 6. Déterminer le nombre total de multiples de 7 compris entre 100 et 1000.

   Indice — Utilise la formule du nombre de termes d'une suite finie définie par $(n_2 - n_1 + 1)$.

   Correction

   Les multiples de 7 s'écrivent sous la forme $7k$. D'après la question précédente, le premier terme correspond à $k = 15$ et le dernier à $k = 142$.
   Le nombre total de multiples est donné par la formule du nombre de termes d'une suite finie :
   $N = 142 - 15 + 1 = 128$.
   Il y a donc $128$ multiples de 7 dans cet intervalle.

7. 7. Calculer la somme totale de tous ces multiples de 7.

   Indice — Applique la formule de sommation des termes d'une suite arithmétique : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

   Correction

   Ces multiples forment une suite arithmétique de premier terme $a = 105$, de dernier terme $b = 994$ et comportant $128$ termes. On applique la formule de la somme d'une suite arithmétique :
   $S = 128 \times \frac{105 + 994}{2} = 128 \times 549{,}5 = 70\,336$.

Soient les entiers naturels $x$ et $y$.

1. 1) a/. Soient les entiers $x = 1225$ et $y = 275$. Décomposer $x$ et $y$ en produits de facteurs premiers.

   Indice — Effectue des divisions successives par les nombres premiers croissants (2, 3, 5, 7, 11...).

   Correction

   En effectuant la décomposition en facteurs premiers par divisions successives :
   - $1225 = 5^2 \times 7^2$
   - $275 = 5^2 \times 11$

2. 1) b/. Montrer que $x$ est un carré parfait.

   Indice — Observe la parité des exposants dans la décomposition en facteurs premiers d'un carré parfait.

   Correction

   D'après la question 1) a/, $x = 1225 = 5^2 \times 7^2 = (5 \times 7)^2 = 35^2$.
   Tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs (ou $x$ s'écrit sous la forme $n^2$ avec $n = 35 \in \mathbb{N}$), donc $x$ est un carré parfait.

3. 2) a/. Soit $a \in \mathbb{N}$, déterminer les restes possibles de la division euclidienne de $a^{2}$ par 4.

   Indice — Utilise une disjonction de cas selon la parité de l'entier $a$ ($a = 2k$ ou $a = 2k + 1$).

   Correction

   On procède par disjonction de cas selon la parité de $a$ :
   - Si $a$ est pair ($a = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$), $a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 4(k^2)$, le reste vaut $0$.
   - Si $a$ est impair ($a = 2k + 1$ avec $k \in \mathbb{N}$), $a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1$, le reste vaut $1$.

   Les restes possibles de la division euclidienne de $a^2$ par 4 sont donc 0 et 1.

4. 2) b/. Montrer que les entiers naturels de la forme $4a+2$ ne peuvent pas être des carrés parfaits.

   Indice — Examine le reste de la division euclidienne d'un entier de la forme $4a + 2$ par 4 et compare-le aux restes possibles d'un carré parfait trouvés précédemment.

   Correction

   Un entier de la forme $4a + 2$ a pour reste 2 dans la division euclidienne par 4. Or, d'après la question 2) a/, le reste de la division euclidienne d'un carré parfait par 4 est toujours 0 ou 1. Par conséquent, un entier de la forme $4a + 2$ ne peut pas être un carré parfait.

5. 2) c/. L'entier $84848418$ est-il un carré parfait ? Justifier.

   Indice — Regarde les deux derniers chiffres du nombre pour déterminer son reste dans la division euclidienne par 4, sans chercher à calculer sa racine carrée.

   Correction

   On utilise les congruences modulo $4$. Pour tout entier $n$, on a $n \equiv 0, 1, 2 \text{ ou } 3 \pmod 4$, ce qui implique que son carré $n^2$ est toujours congruent à $0$ ou $1$ modulo $4$.

   Or, un entier est congruent à ses deux derniers chiffres modulo $4$. Pour $84848418$, on a :
   $$84848418 \equiv 18 \equiv 2 \pmod 4$$

   Le reste de la division euclidienne de $84848418$ par $4$ étant $2$, ce nombre ne peut pas être un carré parfait.

On considère l'expression polynomiale $E(n) = n^2 + 4n + 8$ définie pour tout entier naturel $n$.

1. 1). Établir la division euclidienne de $12$ par $7$. Calculer ensuite la valeur numérique brute de $E(12) = 12^2 + 4(12) + 8$, puis déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de ce résultat par $7$.

   Indice — Pose la division euclidienne de 12 par 7, puis substitue la valeur de 12 dans l'expression $E(n)$.

   Correction

   La division euclidienne de $12$ par $7$ s'écrit $12 = 7 \times 1 + 5$ (le quotient est $1$ et le reste est $5$).

   On calcule ensuite la valeur de $E(12)$ :
   $E(12) = 12^2 + 4(12) + 8 = 144 + 48 + 8 = 200$.

   La division euclidienne de $200$ par $7$ donne $200 = 7 \times 28 + 4$. Le quotient est donc $28$ et le reste est $4$.

2. 2). Vérifier que $19 = 7 \times 2 + 5$. Calculer la valeur numérique brute de $E(19)$, puis effectuer sa division euclidienne par $7$.

   Indice — Vérifie d'abord que 19 s'écrit sous la forme d'un multiple de 7 augmenté de 5.

   Correction

   On vérifie directement que $7 \times 2 + 5 = 14 + 5 = 19$, ce qui valide l'égalité.

   On calcule ensuite la valeur de $E(19)$ :
   $E(19) = 19^2 + 4(19) + 8 = 361 + 76 + 8 = 445$.

   La division euclidienne de $445$ par $7$ donne $445 = 7 \times 63 + 4$. Le quotient de cette division est $63$ et son reste est $4$.

3. 3). Calculer la valeur brute de l'expression $5^2 + 4(5) + 8$, puis déterminer le reste de sa division euclidienne par $7$ et comparer ce reste avec ceux obtenus aux questions précédentes.

   Indice — Remplace la variable de l'expression par le reste commun des divisions précédentes, puis divise le résultat obtenu par 7.

   Correction

   On calcule la valeur numérique de l'expression :
   $5^2 + 4(5) + 8 = 25 + 20 + 8 = 53$.

   La division euclidienne de $53$ par $7$ s'écrit $53 = 7 \times 7 + 4$, le reste est donc $4$.

   On constate que ce reste est identique à ceux obtenus pour $E(12)$ et $E(19)$. Cela s'explique par les propriétés des congruences : comme $12 \equiv 5 \pmod 7$ et $19 \equiv 5 \pmod 7$, on a $E(12) \equiv E(19) \equiv E(5) \pmod 7$.

4. 4). Soit un entier naturel $n$ tel que $n = 7k + 5$ avec $k \in \mathbb{N}$. Développer et réduire l'expression $E(n) = (7k + 5)^2 + 4(7k + 5) + 8$ sous la forme $7M + 53$, où $M$ est un entier exprimé en fonction de $k$.

   Indice — Exprime tout entier $n$ dont le reste par 7 est 5 sous la forme $7k + 5$ avec $k \in \mathbb{N}$, puis développe le carré.

   Correction

   On substitue $n = 7k + 5$ dans l'expression de $E(n)$ et on développe :
   $E(n) = (7k + 5)^2 + 4(7k + 5) + 8$
   $E(n) = (49k^2 + 70k + 25) + (28k + 20) + 8$

   En regroupant les termes en $k$, on obtient :
   $E(n) = 49k^2 + 98k + 53$

   En factorisant par $7$ les termes contenant $k$, on trouve :
   $E(n) = 7(7k^2 + 14k) + 53$

   On obtient bien la forme recherchée $7M + 53$ en posant $M = 7k^2 + 14k$, où $M$ est un entier naturel.

5. 5). En écrivant le nombre $53$ sous la forme d'une division euclidienne par $7$, transformer l'expression de $E(n)$ obtenue précédemment pour l'amener sous la forme canonique $7Q + R$. Justifier pourquoi $53$ ne peut pas constituer le reste final et en déduire la valeur exacte de $R$.

   Indice — Regarde la condition fondamentale portant sur le reste dans une division euclidienne par 7.

   Correction

   La division euclidienne de $53$ par $7$ s'écrit : $53 = 7 \times 7 + 4$.

   En substituant cette relation dans l'expression de $E(n)$ (qui était de la forme $7q + 53$), on obtient :
   $E(n) = 7q + 7 \times 7 + 4 = 7(q + 7) + 4$
   En posant $Q = q + 7$, on obtient la forme canonique $7Q + R$ avec $R = 4$.

   Par définition, le reste d'une division euclidienne par $7$ doit être strictement inférieur au diviseur ($0 \le R < 7$). Comme $53 \ge 7$, il ne peut pas constituer le reste de la division. Le reste exact est donc $R = 4$.

6. 6). Soit un entier naturel $n$ dont le reste de la division euclidienne par $6$ est $4$. En considérant l'expression $F(n) = n^2 + 2n + 9$, évaluer la valeur brute correspondante, puis déterminer par une division euclidienne appropriée le reste effectif de la division de $F(n)$ par $6$.

   Indice — Reprends la même démarche de substitution et de réduction modulaire pour un diviseur égal à 6 et une autre expression.

   Correction

   Puisque le reste de la division de $n$ par $6$ est $4$, on peut écrire $n = 6k + 4$ (avec $k \in \mathbb{N}$).

   Pour évaluer la valeur brute correspondante, on remplace $n$ par $4$ (ce qui correspond à $k=0$) :
   $F(4) = 4^2 + 2(4) + 9 = 33$

   La division euclidienne de cette valeur brute par $6$ s'écrit : $33 = 6 \times 5 + 3$.

   Pour généraliser, on substitue $n = 6k + 4$ dans l'expression de $F(n)$ et on factorise par $6$ :
   $F(6k+4) = 36k^2 + 60k + 33 = 6(6k^2 + 10k + 5) + 3$

   Le reste effectif de la division euclidienne de $F(n)$ par $6$ est donc bien $3$.

Soit $x = 1225$ et $y = 275$.

1. 1) a. Décomposer en facteurs premiers les nombres $x = 1225$ et $y = 275$.

   Indice — Effectue des divisions successives par les nombres premiers en commençant par le plus petit.

   Correction

   En effectuant des divisions successives par les nombres premiers, on obtient les décompositions en facteurs premiers suivantes :
   - Pour $x = 1225$ : $1225 = 5^2 \times 7^2$
   - Pour $y = 275$ : $275 = 5^2 \times 11$

2. 1) b. Montrer que $x$ est un carré parfait.

   Indice — Observe les exposants dans la décomposition en facteurs premiers obtenue à la question précédente.

   Correction

   D'après la décomposition en facteurs premiers obtenue à la question précédente, on a $x = 5^2 \times 7^2$. Tous les exposants de cette décomposition étant pairs, on peut écrire $x$ sous la forme d'un carré : $x = (5 \times 7)^2 = 35^2$. Par conséquent, $x$ est un carré parfait.

3. 2) a. Soit $a \in \mathbb{N}$, déterminer les restes possibles de la division euclidienne de $a^2$ par $4$.

   Indice — Utilise la disjonction de cas selon la parité de l'entier $a$ ($a = 2k$ ou $a = 2k+1$) pour calculer $a^2$ modulo 4.

   Correction

   On utilise la méthode de disjonction de cas selon la parité de l'entier $a$ :
   - Si $a$ est pair, il s'écrit $a = 2k$ (où $k \in \mathbb{N}$). Son carré est $a^2 = 4k^2$, ce qui correspond à un reste de $0$ modulo $4$.
   - Si $a$ est impair, il s'écrit $a = 2k+1$ (où $k \in \mathbb{N}$). Son carré est $a^2 = 4(k^2+k) + 1$, ce qui correspond à un reste de $1$ modulo $4$.
   Les restes possibles de la division euclidienne de $a^2$ par $4$ sont donc $0$ et $1$.

4. 2) b. Montrer que les entiers naturels de la forme $4a + 2$ (où $a \in \mathbb{N}$) ne sont pas des carrés parfaits.

   Indice — Examine le reste dans la division euclidienne par $4$ d'un entier de la forme $4a+2$ et compare-le avec les restes possibles d'un carré parfait.

   Correction

   Un entier naturel de la forme $4a + 2$ a pour reste $2$ dans la division euclidienne par $4$. Or, d'après le résultat de la question précédente, le reste de la division euclidienne d'un carré parfait par $4$ ne peut être que $0$ ou $1$. Comme ce reste ne peut pas être égal à $2$, un entier de la forme $4a + 2$ ne peut pas être un carré parfait.

5. 2) c. L'entier $84848418$ est-il un carré parfait ? Justifier.

   Indice — Intéresse-toi aux deux derniers chiffres du nombre pour déterminer son reste dans la division par $4$.

   Correction

   Un carré parfait est toujours congru à $0$ ou $1$ modulo $4$. En effet, si $n$ est pair, $n^2 \equiv 0 \pmod 4$, et si $n$ est impair, $n^2 \equiv 1 \pmod 4$.

   Étudions la congruence de $84848418$ modulo $4$. Comme $100$ est divisible par $4$, un entier est congru à ses deux derniers chiffres modulo $4$ :
   $$84848418 \equiv 18 \equiv 2 \pmod 4$$

   Le reste de la division euclidienne de $84848418$ par $4$ étant $2$, cet entier ne peut pas être un carré parfait.

Lors de l'utilisation d'une calculatrice pour effectuer la division de deux entiers naturels, l'écran affiche souvent un résultat sous forme décimale. On se propose d'étudier comment obtenir de façon exacte le reste de la division euclidienne à partir de cet affichage.

1. 1. Soit $a = 458$ et $b = 7$. L'affichage de la calculatrice pour le quotient $\dfrac{a}{b}$ est environ $65{,}428571$. Déterminer la partie entière $q$ de ce quotient, puis calculer la valeur exacte de $r = a - bq$.

   Indice — Déterminer $q \in \mathbb{N}$ tel que $q \le 65{,}428571 < q+1$, puis évaluer $458 - 7q$.

   Correction

   La partie entière du quotient décimal $65{,}428571$ est $q = 65$. En appliquant la formule de la division euclidienne $r = a - bq$, on calcule le reste exact : $r = 458 - 7 \times 65 = 458 - 455 = 3$.

2. 2. Soit $a = 12457$ et $b = 13$. L'affichage de la calculatrice pour le quotient $\dfrac{a}{b}$ est environ $958{,}230769$. Calculer le produit de la partie décimale tronquée $0{,}230769$ par $13$, puis calculer la valeur exacte de $r = a - bq$ où $q$ est la partie entière de ce quotient. Comparer les deux résultats obtenus.

   Indice — Comparer la valeur de $13 \times 0{,}230769$ avec celle de $12457 - 13 \times 958$.

   Correction

   Le produit de la partie décimale par le diviseur donne $13 \times 0{,}230769 = 2{,}999997$. D'autre part, avec la partie entière $q = 958$, le reste exact vaut $r = 12457 - 13 \times 958 = 3$. Le produit de la partie décimale tronquée par le diviseur fournit une approximation très proche du reste exact $r$, altérée par l'arrondi d'affichage.

3. 3. À l'aide des résultats des questions précédentes, formuler la règle permettant d'obtenir le reste exact $r$ de la division euclidienne de $a$ par $b$ en utilisant uniquement la partie entière $q$ du quotient.

   Indice — Quelle relation relie $a$, $b$, $q$ et $r$ dans l'écriture $a = bq + r$ ?

   Correction

   Pour obtenir le reste exact $r$ de la division euclidienne de $a$ par $b$, on prend la partie entière $q$ du quotient décimal affiché par la calculatrice, puis on évalue la différence $r = a - bq$.

4. 4. On pose $\dfrac{a}{b} = q + x$ où $q$ est la partie entière du quotient et $x$ sa partie décimale, de sorte que $q \in \mathbb{N}$ et $0 \le x < 1$. Exprimer le reste $r = a - bq$ en fonction de $b$ et $x$.

   Indice — Multiplier l'égalité $\dfrac{a}{b} = q + x$ par $b$ pour exprimer $a - bq$.

   Correction

   En multipliant l'égalité $\dfrac{a}{b} = q + x$ par $b$, on obtient $a = bq + bx$. On en déduit directement $r = a - bq = bx$. Le reste exact est donc égal au produit du diviseur $b$ par la partie décimale exacte $x$.

5. 5. En utilisant l'encadrement $0 \le x < 1$, démontrer que l'entier $r = a - bq$ vérifie $0 \le r < b$. En déduire que $r$ est bien le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

   Indice — Multiplier chaque membre de l'encadrement $0 \le x < 1$ par $b > 0$.

   Correction

   Par définition de la partie décimale, on a $x = \frac{a}{b} - q$, ce qui se réécrit $bx = a - bq = r$. En multipliant l'encadrement $0 \le x < 1$ par $b$ (qui est strictement positif), on obtient $0 \le bx < b$, soit $0 \le r < b$. L'égalité $a = bq + r$ associée à cet encadrement $0 \le r < b$ caractérise, par définition, la division euclidienne de $a$ par $b$. Ainsi, $r$ est bien le reste de cette division.