Notions de polynômes — exercices corrigés

On considère la fonction polynôme $P$ définie pour tout réel $x$ par :
$$P(x) = (x^2 + 4)^2 - 3x^2 - 52$$

1. 1). Calculer $P(0)$, $P(2)$ et $P(-2)$.

   Indice — Évalue l'expression pour $x \in \{0\,;\,2\,;\,-2\}$ en respectant les priorités opératoires et le signe des puissances.

   Correction

   On évalue l'expression de $P(x)$ pour chaque valeur :
   - Pour $x = 0$ : $P(0) = (0^2 + 4)^2 - 3(0)^2 - 52 = 16 - 52 = -36$.
   - Pour $x = 2$ : $P(2) = (2^2 + 4)^2 - 3(2)^2 - 52 = 8^2 - 12 - 52 = 64 - 64 = 0$.
   - Pour $x = -2$ : Comme $(-2)^2 = 2^2$, on obtient le même calcul que pour $x = 2$, soit $P(-2) = 0$.

2. 2). Montrer que pour tout réel $x$, on a :
   $$-(3x^2 + 52) = -3(x^2 + 4) - 40$$

   Indice — Compare $-3(x^2+4)-40$ et $-3x^2-52$ par développement.

   Correction

   Développons le membre de droite de l'égalité :
   $-3(x^2 + 4) - 40 = -3x^2 - 12 - 40 = -3x^2 - 52$.

   En développant le membre de gauche, on a également :
   $-(3x^2 + 52) = -3x^2 - 52$.

   Les deux expressions sont identiques, ce qui prouve l'égalité pour tout réel $x$.

3. 3). En posant $X = x^2 + 4$, exprimer $P(x)$ sous la forme d'un polynôme du second degré $Q(X)$.

   Indice — Exprime $P(x)$ en substituant le groupement $(x^2+4)$ par la variable $X$.

   Correction

   En utilisant l'égalité de la question précédente, on peut réécrire $P(x)$ sous la forme :
   $P(x) = (x^2 + 4)^2 - 3(x^2 + 4) - 40$.

   En substituant $X = x^2 + 4$, on obtient le polynôme du second degré :
   $Q(X) = X^2 - 3X - 40$.

4. 4). Déterminer l'ensemble des solutions réelles de l'équation $Q(X) = 0$.

   Indice — Recherche les réels $X$ vérifiant $Q(X) = 0$.

   Correction

   On résout l'équation du second degré $X^2 - 3X - 40 = 0$ en calculant son discriminant :
   $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-40) = 9 + 160 = 169$.

   Comme $\Delta > 0$, l'équation possède deux solutions réelles distinctes :
   $X_1 = \frac{3 - \sqrt{169}}{2} = -5$ et $X_2 = \frac{3 + \sqrt{169}}{2} = 8$.

   L'ensemble des solutions de $Q(X) = 0$ est donc $\{-5\,;\,8\}$.

5. 5). Pour chaque solution $X$ obtenue à la question précédente, déterminer si l'équation $x^2 + 4 = X$ admet des solutions réelles en $x$. Justifier.

   Indice — Que vaut le minimum de l'expression $x^2 + 4$ pour $x \in \mathbb{R}$ ?

   Correction

   Pour tout réel $x$, on a $x^2 \ge 0$, donc $x^2 + 4 \ge 4$.
   - Pour $X = -5$ : l'équation $x^2 + 4 = -5$ n'admet aucune solution réelle car $-5 < 4$.
   - Pour $X = 8$ : l'équation $x^2 + 4 = 8$ équivaut à $x^2 = 4$. Comme $8 \ge 4$, elle admet deux solutions réelles.

6. 6). En déduire l'ensemble de tous les zéros réels du polynôme $P$.

   Indice — Regroupe les valeurs de $x$ trouvées à partir des solutions admissibles en $X$.

   Correction

   Les zéros réels de $P$ sont les solutions réelles des équations étudiées à la question précédente.
   Seule l'équation $x^2 = 4$ fournit des solutions réelles, qui sont $x = 2$ et $x = -2$.
   L'ensemble des zéros réels de $P$ est donc $\{-2, 2\}$.

7. 7). Écrire $P(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré et d'un facteur du second degré sans zéro réel.

   Indice — Utilise la décomposition $Q(X) = (X - X_1)(X - X_2)$ avant de revenir à la variable $x$.

   Correction

   En utilisant la forme factorisée du trinôme $Q(X) = (X - 8)(X + 5)$ et en remplaçant $X$ par $x^2 + 4$, on obtient :
   $$P(x) = (x^2 + 4 - 8)(x^2 + 4 + 5) = (x^2 - 4)(x^2 + 9)$$
   En factorisant la différence de deux carrés $x^2 - 4$, on trouve la forme recherchée :
   $$P(x) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 9)$$
   où $x^2 + 9$ est un facteur du second degré sans zéro réel.

On considère différentes fonctions définies de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ afin d'analyser leur nature algébrique et d'identifier leurs caractéristiques fondamentales relatives aux polynômes.

1. 1. Soit la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = -2x^3 - 5x^2 - 1$. Observer les différents termes composant cette expression et préciser la nature de chacun d'eux par rapport aux puissances de $x$.

   Indice — Vérifie si chaque terme de l'expression s'écrit sous la forme d'un produit d'un nombre réel par une puissance entière positive de $x$.

   Correction

   L'expression de $F(x)$ est composée de trois termes :
   - $-2x^3$ : produit du réel $-2$ par la puissance entière $x^3$ ;
   - $-5x^2$ : produit du réel $-5$ par la puissance entière $x^2$ ;
   - $-1$ : terme constant, équivalent à $-1 \cdot x^0$.
   Chaque terme est de la forme $a_k x^k$ avec $a_k \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{N}$.

2. 2. En déduire si la fonction $F$ est une fonction polynôme, puis préciser son degré $d^{\circ}(F)$ le cas échéant.

   Indice — Rappelle-toi la définition d'une fonction polynôme comme somme de termes en $a_n x^n$ avec des exposants entiers naturels.

   Correction

   Par définition, une fonction polynôme est une somme finie de termes de la forme $a_k x^k$ avec $k \in \mathbb{N}$. Les termes de $F$ respectant tous cette définition, $F$ est une fonction polynôme. Son degré correspond à la plus grande puissance de $x$ dont le coefficient est non nul, soit $\deg(F) = 3$.

3. 3. Soit la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x) = |x|$. Analyser la présence de la valeur absolue sur la variable $x$ par rapport aux exigences de la définition d'un polynôme.

   Indice — Examine la nature de l'opération ou du symbole appliqué à la variable $x$ dans l'expression de $G$.

   Correction

   La fonction $G(x) = |x|$ fait intervenir l'opération valeur absolue, définie par morceaux ($x$ pour $x \ge 0$ et $-x$ pour $x < 0$). Cette opération ne correspond pas à une puissance entière naturelle $x^n$ définie de manière uniforme sur tout $\mathbb{R}$.

4. 4. Conclure quant au caractère polynômial de la fonction $G$ en justifiant rigoureusement la réponse.

   Indice — Vérifie si la valeur absolue peut se ramener à une combinaison linéaire de puissances entières de $x$ sur tout $\mathbb{R}$.

   Correction

   La fonction $G$ n'est pas une fonction polynôme. En effet, toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$. Or, la fonction valeur absolue $G$ n'est pas dérivable en $0$, ce qui empêche qu'elle soit polynomiale.

5. 5. Soit la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x) = -2(x+1)^3 + 5x^2 - 4x$. Développer l'expression de $H(x)$ pour l'écrire sous sa forme développée et ordonnée selon les puissances décroissantes de $x$.

   Indice — Développe d'abord le produit remarquable $(x+1)^3$ puis effectue la multiplication par le coefficient $-2$ avant de regrouper les termes semblables.

   Correction

   On commence par développer l'identité remarquable : $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

   En injectant ce résultat dans l'expression de $H(x)$, on obtient :
   $H(x) = -2(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 5x^2 - 4x$

   Après distribution du coefficient $-2$ et regroupement des termes de même puissance, on obtient la forme développée et ordonnée :
   $H(x) = -2x^3 - x^2 - 10x - 2$.

6. 6. En utilisant l'expression développée obtenue précédemment, déterminer si la fonction $H$ est une fonction polynôme et préciser son degré.

   Indice — Observe la forme obtenue après le développement complet et compare-la à la forme générale d'une fonction polynôme.

   Correction

   L'expression $H(x) = -2x^3 - x^2 - 10x - 2$ est une combinaison linéaire de puissances entières positives de $x$. Il s'agit donc d'une fonction polynôme.

   Le degré de ce polynôme est le plus grand exposant de la variable $x$ dont le coefficient est non nul, soit $3$.

Dans l'anneau des polynômes à coefficients réels, on considère une expression paramétrique de degré élevé dont on étudie les propriétés de divisibilité, les relations de degré et les zéros.

1. 1. Soit le polynôme défini par $P(x) = ax^4 + (a+1)x^3 - (b+9)x^2 - (2b-1)x + 14$ où $a$ et $b$ sont des réels. Évaluer $P(1)$ pour établir une première relation linéaire liant $a$ et $b$.

   Indice — Traduis le fait que $1$ est une racine du polynôme par l'annulation de son image, puis regroupe les termes selon les paramètres $a$ et $b$.

   Correction

   On évalue le polynôme en $x = 1$ en remplaçant $x$ par $1$ dans l'expression de $P(x)$ :
   $P(1) = a(1)^4 + (a+1)(1)^3 - (b+9)(1)^2 - (2b-1)(1) + 14 = 2a - 3b + 7$.

   En traduisant le fait que $1$ est une racine de $P$ ($P(1) = 0$), on obtient la première relation linéaire :
   $2a - 3b = -7$.

2. 2. Évaluer $P(-2)$ sachant que $-2$ est également une racine de ce polynôme, afin d'obtenir une deuxième relation algébrique entre $a$ et $b$.

   Indice — Évalue l'expression de $P(-2)$ en faisant très attention aux puissances paires et impaires négatives de $(-2)$.

   Correction

   On évalue $P(-2)$ en remplaçant $x$ par $-2$ :
   $P(-2) = a(-2)^4 + (a+1)(-2)^3 - (b+9)(-2)^2 - (2b-1)(-2) + 14 = 8a - 32$.

   Puisque $-2$ est une racine de $P$, on pose $P(-2) = 0$, ce qui donne la deuxième relation :
   $8a - 32 = 0$.

3. 3. Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$ en résolvant le système associé.

   Indice — Résous le système de deux équations à deux inconnues formé par les questions précédentes pour trouver les valeurs de $a$ et $b$.

   Correction

   On résout le système d'équations formé par les deux relations obtenues :
   $$\begin{cases} 2a - 3b = -7 \\ 8a - 32 = 0 \end{cases}$$

   La seconde équation donne immédiatement $a = 4$. En substituant cette valeur dans la première équation, on obtient $2(4) - 3b = -7$, d'où $b = 5$.

   Les valeurs exactes sont $a = 4$ et $b = 5$.

4. 4. Écrire l'expression explicite du polynôme $P(x)$ après y avoir remplacé les paramètres $a$ et $b$ par leurs valeurs respectives.

   Indice — Substitue les valeurs de $a$ et $b$ trouvées dans l'expression générale de départ pour écrire le polynôme complet.

   Correction

   En substituant les valeurs $a = 4$ et $b = 5$ dans l'expression générale de $P(x)$, on obtient :
   $P(x) = 4x^4 + (4+1)x^3 - (5+9)x^2 - (2(5)-1)x + 14$

   Après simplification des coefficients, l'expression explicite du polynôme est :
   $P(x) = 4x^4 + 5x^3 - 14x^2 - 9x + 14$.

5. 5. Vérifier que le polynôme $P$ est factorisable par le polynôme du second degré $x^2 + x - 2$ en vous appuyant sur ses racines.

   Indice — Développe le produit $(x-1)(x+2)$ pour obtenir un polynôme de référence du second degré, puis prépare la division ou l'identification.

   Correction

   Le polynôme $x^2 + x - 2$ se factorise sous la forme $(x-1)(x+2)$, ses racines sont donc $1$ et $-2$. Pour montrer que $P(x)$ est factorisable par ce polynôme, on vérifie que $1$ et $-2$ sont des racines de $P(x)$ :
   - $P(1) = 1^4 - 2(1)^3 - 3(1)^2 + 8(1) - 4 = 0$
   - $P(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 8(-2) - 4 = 16 + 16 - 12 - 16 - 4 = 0$

   Comme $P(1) = 0$ et $P(-2) = 0$, $P(x)$ est divisible par $(x-1)$ et par $(x+2)$, et donc par leur produit $x^2 + x - 2$.

6. 6. Quel est le degré du polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x^2 + x - 2)Q(x)$ pour tout réel $x$ ? Justifier en utilisant les propriétés générales des degrés.

   Indice — Utilise la propriété sur le degré d'un produit de deux polynômes non nuls pour déterminer le degré du polynôme quotient $Q$.

   Correction

   D'après la propriété sur le degré du produit de deux polynômes non nuls, on a $\deg(P) = \deg(x^2 + x - 2) + \deg(Q)$.

   Sachant que $\deg(P) = 4$ et $\deg(x^2 + x - 2) = 2$, on en déduit directement :
   $\deg(Q) = 4 - 2 = 2$.

7. 7. Déterminer les coefficients du polynôme $Q(x)$ en procédant par identification des coefficients de même degré.

   Indice — Pose $Q(x) = Ax^2 + Bx + C$ et compare les coefficients par identification terme à terme des puissances de $x$ ou en utilisant les termes extrêmes.

   Correction

   On pose $Q(x) = Ax^2 + Bx + C$. En développant le produit, on obtient :
   $P(x) = (x^2 + x - 2)(Ax^2 + Bx + C) = Ax^4 + (A+B)x^3 + (B+C-2A)x^2 + (C-2B)x - 2C$

   Par identification avec les coefficients de $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 8x - 4$, on détermine les coefficients :
   - $A = 1$ (terme en $x^4$)
   - $A + B = -2 \implies B = -3$ (terme en $x^3$)
   - $-2C = -4 \implies C = 2$ (terme constant)

   On obtient ainsi $Q(x) = x^2 - 3x + 2$.

8. 8. Donner la factorisation complète du polynôme $P(x)$ en un produit de polynômes irréductibles du premier degré sur l'ensemble des nombres réels.

   Indice — Factorise le polynôme du second degré $Q(x)$ obtenu à la question précédente pour exprimer le polynôme initial sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.

   Correction

   On utilise les résultats des questions précédentes pour écrire $P(x) = (x^2 + x - 2)(x^2 - 3x + 2)$.

   On factorise chacun des deux polynômes du second degré :
   - $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$
   - $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

   En regroupant les facteurs communs, on obtient la factorisation complète sur $\mathbb{R}$ :
   $P(x) = (x-1)^2(x-2)(x+2)$.

On considère des polynômes à coefficients réels et l'étude de leurs racines.

1. 1. Soit $P$ le polynôme défini par $P(x)=ax^4+(a+1)x^3-(b+9)x^2-(2b-1)x+14$ où $a$ et $b$ sont des réels. Évaluer $P(1)$ pour obtenir une relation linéaire entre $a$ et $b$.

   Indice — Traduis le fait que 1 est une racine en écrivant l'égalité de l'évaluation du polynôme en 1 à zéro.

   Correction

   On évalue le polynôme $P$ en $1$ en traduisant le fait que $1$ est une racine, soit $P(1) = 0$ :
   $P(1) = a(1)^4 + (a+1)(1)^3 - (b+9)(1)^2 - (2b-1)(1) + 14 = 0$.
   En simplifiant cette expression, on obtient la relation linéaire :
   $2a - 3b + 7 = 0$.

2. 2. Évaluer $P(-2)$ sachant que $-2$ est également une racine de $P$, puis simplifier l'expression pour obtenir une deuxième relation.

   Indice — Remplace $x$ par $-2$ en faisant très attention au calcul des puissances paires et impaires, notamment pour $(-2)^3$.

   Correction

   On évalue $P$ en $-2$ sachant que $P(-2) = 0$ :
   $P(-2) = a(-2)^4 + (a+1)(-2)^3 - (b+9)(-2)^2 - (2b-1)(-2) + 14 = 0$.
   En développant, on obtient :
   $16a - 8(a+1) - 4(b+9) + 2(2b-1) + 14 = 0$.
   Après simplification, les termes en $b$ s'annulent, ce qui donne la deuxième relation :
   $8a - 32 = 0$.

3. 3. Résoudre l'équation ainsi formée pour déterminer la valeur du paramètre $a$.

   Indice — Observe l'équation obtenue à la question précédente : elle ne dépend plus que d'une seule inconnue.

   Correction

   On résout directement l'équation à une seule inconnue obtenue à la question précédente :
   $8a - 32 = 0 \implies a = 4$.

4. 4. Déduire la valeur du paramètre $b$ à partir de la première relation.

   Indice — Réinjecte la valeur de $a$ trouvée dans la première relation linéaire établie à la première question.

   Correction

   On substitue la valeur $a = 4$ dans la première relation linéaire $2a - 3b + 7 = 0$ :
   $2(4) - 3b + 7 = 0 \implies 15 - 3b = 0$.
   On en déduit immédiatement $b = 5$.

5. 5. Expliciter l'expression complète du polynôme $P(x)$ en remplaçant $a$ et $b$ par les valeurs trouvées.

   Indice — Remplace simplement $a$ et $b$ par leurs valeurs numériques dans l'expression initiale de $P(x)$.

   Correction

   En substituant les valeurs de $a$ et $b$ trouvées aux questions précédentes dans l'expression initiale, on obtient l'expression explicite et réduite de $P(x)$.

6. 6. Vérifier que $P(x)$ est divisible par le trinôme $x^2+x-2$.

   Indice — Pense au lien entre les racines 1 et $-2$ et la factorisation par les monômes $(x-1)$ et $(x+2)$, puis développe leur produit.

   Correction

   Le trinôme $x^2+x-2$ se factorise en $(x-1)(x+2)$ et admet pour racines $1$ et $-2$. On calcule $P(1)$ et $P(-2)$ : les deux termes s'annulent ($P(1)=0$ et $P(-2)=0$), ce qui montre que $P(x)$ est divisible par $(x-1)(x+2)$, c'est-à-dire par $x^2+x-2$.

7. 7. Soit $Q$ le polynôme tel que $P(x)=(x^2+x-2)Q(x)$ pour tout réel $x$. Quel est le degré du polynôme $Q$ ?

   Indice — Utilise la propriété sur le degré du produit de deux polynômes pour déterminer le degré du polynôme quotient $Q$.

   Correction

   D'après la propriété du degré d'un produit, $\deg(P) = \deg(x^2+x-2) + \deg(Q)$. Sachant que $\deg(P) = 4$ et $\deg(x^2+x-2) = 2$, on en déduit que $\deg(Q) = 4 - 2 = 2$.

8. 8. Déterminer explicitement tous les coefficients du polynôme $Q(x)$.

   Indice — Pose $Q(x)=Ax^2+Bx+C$ et procède par identification des coefficients en comparant les termes de même degré des deux membres.

   Correction

   On pose $Q(x) = Ax^2 + Bx + C$. En développant $(x^2+x-2)(Ax^2+Bx+C)$ et en identifiant coefficient par coefficient avec $P(x)$, on établit un système linéaire dont la résolution donne les valeurs exactes des réels $A$, $B$ et $C$.

On considère la fonction $F$ définie par :
$$F(x) = \dfrac{(x+1)(x^2-4)}{x-2} - (x+1)(x+2)$$

1. 1). Déterminer l'ensemble de définition $D_F$ de la fonction $F$.

   Indice — Résous l'équation $x-2 = 0$.

   Correction

   La fonction $F$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul, soit $x - 2 \neq 0$. On en déduit immédiatement $x \neq 2$. Ainsi, l'ensemble de définition est $D_F = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

2. 2). Factoriser le polynôme $A(x) = (x+1)(x^2-4)$ en un produit de facteurs du premier degré.

   Indice — Applique l'égalité $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ à l'expression $x^2-4$.

   Correction

   On applique l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ au terme $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$, ce qui donne $(x - 2)(x + 2)$. Par conséquent, $A(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

3. 3). En déduire une expression simplifiée de la fraction rationnelle $R(x) = \dfrac{(x+1)(x^2-4)}{x-2}$ pour tout réel $x \in D_F$.

   Indice — Simplifie la fraction $\dfrac{(x+1)(x-2)(x+2)}{x-2}$ pour tout $x \in D_F$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_F$, on a $x \neq 2$, donc $x - 2 \neq 0$. En remplaçant le numérateur par sa forme factorisée obtenue précédemment, on écrit $R(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$. Après simplification par le facteur non nul $(x - 2)$, on obtient $R(x) = (x + 1)(x + 2)$.

4. 4). Montrer que pour tout $x \in D_F$, $F(x) = 0$.

   Indice — Calcule la différence $(x+1)(x+2) - (x+1)(x+2)$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_F$, on remplace la fraction par son expression simplifiée $R(x) = (x + 1)(x + 2)$. L'expression de $F(x)$ devient $F(x) = (x + 1)(x + 2) - (x + 1)(x + 2) = 0$.

5. 5). Calculer $F(0)$. Peut-on évaluer $F(2)$ ? Justifier la réponse.

   Indice — Regarde si $0 \in D_F$ et si $2 \in D_F$.

   Correction

   Pour $x = 0$, l'évaluation directe donne $F(0) = \dfrac{(1)(-4)}{-2} - (1)(2) = 2 - 2 = 0$.

   Pour $x = 2$, le dénominateur $x - 2$ s'annule. Ainsi, $2 \notin D_F$ et $F(2)$ ne peut pas être évalué en raison de l'impossibilité de la division par zéro.