Homothétie — exercices corrigés

Soit $ABC$ un triangle non aplati. On note $D = B * C$ le milieu du segment $[BC]$.

On considère l'homothétie $h = h_{(A,2)}$ de centre $A$ et de rapport $2$.

Pour tout réel $\alpha \notin \{-1\,;\,0\,;\,1\}$, on note $M_\alpha$ le point du plan défini par $\vec{AM_\alpha} = \alpha \vec{AB}$.

1. 1). On pose $B' = h(B)$ et $C' = h(C)$. Construire les points $B'$ et $C'$, puis exprimer le vecteur $\vec{B'C'}$ en fonction du vecteur $\vec{BC}$.

   Indice — Que vaut $\vec{AB'}$ et $\vec{AC'}$ d'après la définition de $h_{(A,2)}$ ?

   Correction

   Par définition de l'homothétie $h = h_{(A,2)}$, les images $B'$ et $C'$ vérifient $\vec{AB'} = 2\vec{AB}$ et $\vec{AC'} = 2\vec{AC}$. On place donc $B'$ et $C'$ sur les droites $(AB)$ et $(AC)$ tels que $A$ soit le milieu de $[BB']$ n'étant pas le cas ici (plutôt $B$ milieu de $[AB']$ et $C$ milieu de $[AC']$).

   Par la relation de Chasles, $\vec{B'C'} = \vec{AC'} - \vec{AB'} = 2\vec{AC} - 2\vec{AB} = 2(\vec{AC} - \vec{AB}) = 2\vec{BC}$.

2. 2) a). On choisit $\alpha = \dfrac{1}{2}$ et on note $M_0 = M_{1/2}$ (soit $M_0 = A * B$). On désigne par $P_0$ le point d'intersection des droites $(CM_0)$ et $(AD)$. Exprimer $\vec{AP_0}$ en fonction de $\vec{AD}$, puis déterminer l'expression du vecteur $\vec{AP_0'}$ où $P_0' = h(P_0)$.

   Indice — Que représente le point $P_0$ pour le triangle $ABC$ ?

   Correction

   Dans le triangle $ABC$, $D$ étant le milieu de $[BC]$ et $M_0$ le milieu de $[AB]$, les droites $(AD)$ et $(CM_0)$ sont deux médianes du triangle. Le point $P_0$, intersection de ces médianes, est donc le centre de gravité de $ABC$.

   D'après les propriétés du centre de gravité, $\vec{AP_0} = \dfrac{2}{3}\vec{AD}$.

   Par l'homothétie $h = h_{(A,2)}$, l'image $P_0' = h(P_0)$ vérifie $\vec{AP_0'} = 2\vec{AP_0} = 2 \times \dfrac{2}{3}\vec{AD} = \dfrac{4}{3}\vec{AD}$.

3. 2) b). Déterminer les images des droites $(AD)$ et $(CM_0)$ par l'homothétie $h$. En déduire que $P_0'$ est le point d'intersection de la droite $(AD)$ et de la droite $(C'B)$.

   Indice — Que sont les images des points $A$, $D$, $C$ et $M_0$ par $h$ ?

   Correction

   L'image du centre $A$ par $h$ est $A$. La droite $(AD)$ passant par le centre $A$, son image par $h$ est elle-même : $h((AD)) = (AD)$.

   Pour la droite $(CM_0)$, on a $h(C) = C'$ et $h(M_0) = B$ car $\vec{AM_0} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} \implies \vec{Ah(M_0)} = 2\vec{AM_0} = \vec{AB}$. L'image de $(CM_0)$ est donc la droite $(C'B)$.

   L'homothétie conservant l'intersection, $P_0' = h(P_0) = h((AD) \cap (CM_0))$ est l'intersection des droites imagées, soit $P_0' = (AD) \cap (C'B)$.

4. 3). Pour $\alpha \notin \{-1\,;\,0\,;\,1\}$, on note $Q_\alpha$ le point d'intersection de la droite $(CM_\alpha)$ avec la droite $(AD)$. Montrer que :
   $$\vec{AQ_\alpha} = \dfrac{2\alpha}{\alpha + 1}\vec{AD}$$

   Indice — Exprime l'appartenance $Q_\alpha \in (AD)$ et $Q_\alpha \in (CM_\alpha)$ dans la base $(\vec{AB}, \vec{AC})$.

   Correction

   Plaçons-nous dans le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$.
   Comme $D$ est le milieu de $[BC]$, on a $\vec{AD} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AC}$, donc $D\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$.

   $Q_\alpha \in (AD)$, donc $\vec{AQ_\alpha} = k\vec{AD}$, ce qui donne $Q_\alpha\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)$.

   D'autre part, $C(0,1)$ et $M_\alpha(\alpha,0)$. Une équation carterienne de la droite $(CM_\alpha)$ est $x + \alpha y = \alpha$.

   En substituant les coordonnées de $Q_\alpha$ dans cette équation, on obtient $\dfrac{k}{2} + \alpha\dfrac{k}{2} = \alpha$, d'où $k(1 + \alpha) = 2\alpha$, soit $k = \dfrac{2\alpha}{\alpha + 1}$.

   On en déduit ainsi que $\vec{AQ_\alpha} = \dfrac{2\alpha}{\alpha + 1}\vec{AD}$.

5. 4). Déduire de la question précédente l'expression du vecteur $\vec{Ah(Q_\alpha)}$ en fonction de $\alpha$ et $\vec{AD}$.

   Indice — Applique la relation de définition de $h_{(A,2)}$ au point $Q_\alpha$.

   Correction

   Par définition de l'homothétie $h = h_{(A,2)}$, on a $\vec{Ah(Q_\alpha)} = 2\vec{AQ_\alpha}$.

   En utilisant la relation $\vec{AQ_\alpha} = \frac{2\alpha}{\alpha+1}\vec{AD}$ établie à la question précédente, on obtient directement :
   $$\vec{Ah(Q_\alpha)} = \frac{4\alpha}{\alpha+1}\vec{AD}$$

6. 5). On note $M_\alpha' = h(M_\alpha)$. Sans utiliser l'expression vectorielle de $Q_\alpha$, prouver que pour tout $\alpha \notin \{-1\,;\,0\,;\,1\}$, l'image $h(Q_\alpha)$ est le point d'intersection unique de la droite $(AD)$ et de la droite $(C'M_\alpha')$.

   Indice — Quelles sont les images par $h$ des deux droites dont $Q_\alpha$ est l'intersection ?

   Correction

   Le point $Q_\alpha$ est défini comme l'intersection des droites $(AD)$ et $(CM_\alpha)$. Les homothéties conservant l'alignement et les intersections :
   - La droite $(AD)$ passe par le centre $A$, donc son image par $h$ est elle-même : $h((AD)) = (AD)$.
   - L'image de la droite $(CM_\alpha)$ est la droite passant par les images des points $C$ et $M_\alpha$, c'est-à-dire la droite $(C'M_\alpha')$.

   L'image de l'intersection étant l'intersection des images, $h(Q_\alpha)$ est l'intersection unique des droites $(AD)$ et $(C'M_\alpha')$.

7. 6). Déterminer l'ensemble décrit par le point $h(Q_\alpha)$ lorsque le réel $\alpha$ varie dans $\mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,0\,;\,1\}$.

   Indice — Sur quelle droite fixe le point $h(Q_\alpha)$ se déplace-t-il lorsque $\alpha$ varie ?

   Correction

   Puisque $\vec{Ah(Q_\alpha)}$ est colinéaire à $\vec{AD}$, le point $h(Q_\alpha)$ se déplace sur la droite $(AD)$.

   En posant $k(\alpha) = \frac{4\alpha}{\alpha+1}$, l'étude de cette fonction montre que lorsque $\alpha$ varie dans $\mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,0\,;\,1\}$, le coefficient $k(\alpha)$ prend toutes les valeurs réelles sauf $4$ (sa limite en $\pm\infty$), $0$ (pour $\alpha = 0$) et $2$ (pour $\alpha = 1$).

   L'ensemble décrit par $h(Q_\alpha)$ est donc la droite $(AD)$ privée du point $A$, du point $D'$ tel que $\vec{AD'} = 2\vec{AD}$ et du point $D''$ tel que $\vec{AD''} = 4\vec{AD}$.

On considère deux segments $[AB]$ et $[CD]$ portés par deux droites parallèles distinctes, de longueurs respectives $AB = 2\text{ cm}$ et $CD = 6\text{ cm}$. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en un point $O$, centre d'une homothétie $h$ qui transforme $A$ en $C$ et $B$ en $D$.

Construire sur votre copie les figures correspondant aux deux situations géométriques suivantes :
– Situation A : le point $O$ appartient au segment $[AC]$.
– Situation B : le point $O$ n'appartient pas au segment $[AC]$, le point $A$ étant situé entre $O$ et $C$.

1. 1). Calculer le rapport des longueurs $\dfrac{CD}{AB}$.

   Indice — Que vaut le quotient $\dfrac{CD}{AB}$ lorsque $CD=6$ et $AB=2$ ?

   Correction

   On calcule le quotient des longueurs : $\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{6}{2} = 3$.

2. 2). Dans la Situation A, exprimer le vecteur $\vec{OC}$ en fonction du vecteur $\vec{OA}$. En déduire le rapport $k_1$ de l'homothétie $h$.

   Indice — Si $O \in [AC]$, quel est le sens relatif des vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ ?

   Correction

   Dans la Situation A, le point $O$ appartient au segment $[AC]$. Les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ sont donc de sens opposés. Puisque l'homothétie $h$ de centre $O$ transforme $A$ en $C$, on a $\vec{OC} = k_1 \vec{OA}$. Le rapport vérifie $|k_1| = \dfrac{CD}{AB} = 3$. Comme les vecteurs sont de sens contraires, on en déduit que $\vec{OC} = -3\vec{OA}$ et le rapport est $k_1 = -3$.

3. 3). Dans la Situation B, exprimer le vecteur $\vec{OC}$ en fonction du vecteur $\vec{OA}$. En déduire le rapport $k_2$ de l'homothétie $h$.

   Indice — Si $A \in [OC]$, quelle est la disposition relative de $O$, $A$ et $C$, et quel est le sens des vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ ?

   Correction

   Dans la Situation B, $A$ est situé entre $O$ et $C$. Les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ ont le même sens. Le rapport $k_2$ de l'homothétie est donc positif et égal au rapport des longueurs $\dfrac{CD}{AB} = 3$. On a ainsi $\vec{OC} = 3\vec{OA}$ et $k_2 = 3$.

4. 4). On pose $\lambda = \dfrac{CD}{AB}$. Exprimer le rapport $k$ de l'homothétie transformant $A$ en $C$ en fonction de $\lambda$, selon que $O \in [AC]$ ou $O \notin [AC]$.

   Indice — Que vaut $|k|$ par rapport à $\lambda = \dfrac{CD}{AB}$ dans chacun des deux cas ?

   Correction

   Dans le cas général, le rapport $k$ de l'homothétie de centre $O$ transformant $A$ en $C$ vérifie $|k| = \lambda = \dfrac{CD}{AB}$.
   – Si $O \in [AC]$, le centre est entre les points, l'homothétie inverse le sens des vecteurs : $k = -\lambda$.
   – Si $O \notin [AC]$, les points sont du même côté du centre, l'homothétie conserve le sens des vecteurs : $k = \lambda$.

5. 5). Justifier rigoureusement que la condition $O \in [AC]$ équivaut à un rapport d'homothétie $k < 0$.

   Indice — Que traduit le signe de $k$ dans la relation $\vec{OC} = k\vec{OA}$ concernant le sens des deux vecteurs ?

   Correction

   Par définition de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, l'image de $A$ par $h$ est $C$ si et seulement si $\vec{OC} = k\vec{OA}$.

   Le point $O$ appartient au segment $[AC]$ (hors extrémités) si et seulement si les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ sont colinéaires et de sens opposés. Or, la relation $\vec{OC} = k\vec{OA}$ indique que ces deux vecteurs sont de même sens si $k > 0$ et de sens opposés si $k < 0$.

   On en déduit donc l'équivalence : $O \in [AC] \iff k < 0$.

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 4{,}5\text{ cm}$ et $BC = 7{,}5\text{ cm}$.
On note $I = A * B$ le milieu du segment $[AB]$.
Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = 2$.

1. 1. Construire le triangle $ABC$, placer le point $I$, puis construire les points $B' = h(B)$ et $C' = h(C)$.

   Indice — Utilise la définition vectorielle de l'homothétie $h_{(A,2)}$ : $\vec{AB'} = 2\vec{AB}$ et $\vec{AC'} = 2\vec{AC}$.

   Correction

   Le triangle $ABC$ se construit au compas à partir de ses trois longueurs. $I$ est le milieu de $[AB]$ ($AI = 3\text{ cm}$). Par définition de l'homothétie $h$, on construit $B'$ et $C'$ tels que $\vec{AB'} = 2\vec{AB}$ et $\vec{AC'} = 2\vec{AC}$, c'est-à-dire en doublant la distance à partir de $A$ sur les demi-droites $[AB)$ et $[AC)$.

2. 2. Montrer que $h(I) = B$.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{AB}$ en fonction de $\vec{AI}$ en utilisant le fait que $I = A * B$, puis compare avec la définition de l'homothétie $h_{(A,2)}$.

   Correction

   Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, on a $\vec{AB} = 2\vec{AI}$. D'après la définition vectorielle de l'homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $2$, l'image de $I$ est le point $M$ tel que $\vec{AM} = 2\vec{AI}$. On en conclut que $h(I) = B$.

3. 3. Déterminer l'image de la droite $(BC)$ par l'homothétie $h$ et en déduire que $(BC) \parallel (B'C')$.

   Indice — Rappelle-toi la propriété de l'image d'une droite par une homothétie et identifie les images respectives des points $B$ et $C$ par $h$.

   Correction

   Comme $h(B) = B'$ et $h(C) = C'$, l'image de la droite $(BC)$ par $h$ est la droite $(B'C')$. Une homothétie transformant toute droite en une droite parallèle, on en déduit que $(BC) \parallel (B'C')$.

4. 4. Calculer la longueur du segment $[B'C']$.

   Indice — Utilise la propriété : l'image du segment $[BC]$ par l'homothétie $h$ de rapport $k=2$ est le segment $[B'C']$, d'où $B'C' = |k| \cdot BC$.

   Correction

   L'homothétie de rapport $k = 2$ multiplie les distances par $|k| = 2$. On a donc $B'C' = 2 \times BC = 2 \times 7{,}5 = 15\text{ cm}$.

5. 5. Sachant que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $13{,}5\text{ cm}^2$, déterminer l'aire du triangle $AB'C'$.

   Indice — Applique la propriété du cours : l'image d'un polygone d'aire $a$ par une homothétie de rapport $k$ est un polygone d'aire $k^2 \cdot a$. Ne confond pas $|k|$ et $k^2$.

   Correction

   Le triangle $AB'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie $h$ de rapport $k = 2$.

   D'après la propriété du cours, une homothétie de rapport $k$ multiplie les aires par $k^2$.
   On a donc :
   $$\text{Aire}(AB'C') = k^2 \times \text{Aire}(ABC) = 2^2 \times 13{,}5 = 4 \times 13{,}5 = 54\text{ cm}^2$$

Dans le plan, on considère deux points distincts $A$ et $B$. On note $O$ le milieu du segment $[AB]$, soit $O = A * B$.

Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que :
$$2\vec{MM'} = 2\vec{MA} + \vec{MB}$$

1. 1)a). Déterminer le point $f(B)$.

   Indice — Exprime la relation de définition de $f$ pour $M = B$.

   Correction

   En posant $M = B$ dans la relation de définition, on obtient $2\vec{B f(B)} = 2\vec{BA} + \vec{BB} = 2\vec{BA}$, soit $\vec{B f(B)} = \vec{BA}$. Le point $f(B)$ est donc le symétrique du point $A$ par rapport à $B$.

2. 1)b). Déterminer le point $f(A)$ en fonction de $O$.

   Indice — Exprime $\vec{AA'}$ en fonction de $\vec{AB}$ et utilise la relation $O = A * B$.

   Correction

   En posant $M = A$, l'égalité devient $2\vec{A f(A)} = 2\vec{AA} + \vec{AB} = \vec{AB}$, soit $\vec{A f(A)} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Comme $O$ est le milieu du segment $[AB]$, on a $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. On en déduit que $\vec{A f(A)} = \vec{AO}$, c'est-à-dire $f(A) = O$.

3. 2). Montrer qu'il existe un unique point invariant par $f$, noté $I$, que l'on caractérisera par une relation vectorielle reliant $I$, $A$ et $B$.

   Indice — Traduis l'égalité $f(I) = I$ sous forme vectorielle.

   Correction

   Un point $I$ est invariant par $f$ si et seulement si $f(I) = I$, ce qui traduit $\vec{II'} = \vec{0}$. La relation de définition appliquée en $I$ donne $2\vec{0} = 2\vec{IA} + \vec{IB}$, soit $2\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$. En exprimant cette relation en fonction de $\vec{AI}$, on trouve $3\vec{AI} = \vec{AB}$, d'où $\vec{AI} = \frac{1}{3}\vec{AB}$. Il existe donc un unique point invariant $I$, défini par $2\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ (ou $\vec{AI} = \frac{1}{3}\vec{AB}$).

4. 3). Pour un point $M$ quelconque du plan, exprimer $\vec{IM'}$ en fonction de $\vec{IM}$. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'application $f$.

   Indice — Décompose $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ en passant par $I$ dans la relation de définition.

   Correction

   En décomposant chaque vecteur par le point $I$ grâce à la relation de Chasles, la définition de $f$ devient : $2(\vec{MI} + \vec{IM'}) = 2(\vec{MI} + \vec{IA}) + (\vec{MI} + \vec{IB}) = 3\vec{MI} + (2\vec{IA} + \vec{IB})$. Sachant que $2\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$, on obtient $2\vec{MI} + 2\vec{IM'} = 3\vec{MI}$, d'où $2\vec{IM'} = \vec{MI} = -\vec{IM}$, soit $\vec{IM'} = -\frac{1}{2}\vec{IM}$. On en déduit que $f$ est l'homothétie de centre $I$ et de rapport $-\frac{1}{2}$.

5. 4). Soit $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$ et $N$ un point de $\mathcal{C}$ distinct de $A$ et $B$. Déterminer l'image de la droite $(AN)$ par $f$.

   Indice — Détermine la position relative de $(AN)$ et $(NB)$ sachant que $N \in \mathcal{C}$.

   Correction

   L'application $f$ est l'homothétie de centre $I$ et de rapport $-\frac{1}{2}$. L'image du point $A$ par $f$ est le point $O$. Par conséquent, l'image de la droite $(AN)$ par $f$ est la droite passant par $O$ et parallèle à $(AN)$.

   Comme $N$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$, le triangle $ANB$ est rectangle en $N$, donc $(AN) \perp (NB)$. La droite passant par $O$ et orthogonale à $(NB)$ est la droite $(OK)$ (par définition du projeté orthogonal $K$). L'image de la droite $(AN)$ par $f$ est donc la droite $(OK)$.

6. 5). Soit $K$ le projeté orthogonal de $O$ sur la droite $(NB)$. Les droites $(OK)$ et $(NI)$ se coupent en un point $N'$. Démontrer que $f(N) = N'$.

   Indice — Utilise l'image de la droite $(AN)$ et l'alignement des points $I$, $N$ et $f(N)$.

   Correction

   Puisque $f$ est une homothétie de centre $I$, l'image $f(N)$ d'un point $N$ est alignée avec $I$ et $N$, donc $f(N) \in (NI)$.

   De plus, $N \in (AN)$, donc son image $f(N)$ appartient à l'image de la droite $(AN)$, qui est la droite $(OK)$ d'après la question précédente.

   Ainsi, $f(N)$ est le point d'intersection des droites $(NI)$ et $(OK)$, c'est-à-dire le point $N'$. On a donc $f(N) = N'$.

7. 6). Démontrer que le triangle $AN'K$ est rectangle en $N'$.

   Indice — Détermine les images des droites $(AN)$ et $(NB)$ par $f$ et utilise la conservation de l'orthogonalité.

   Correction

   Par définition de $f$, on a $f(A) = O$ et $f(N) = N'$. L'image de la droite $(AN)$ par $f$ est la droite $(ON') = (OK)$, et l'image de la droite $(NB)$ est la droite $\Delta$ passant par $N'$ et parallèle à $(NB)$.

   Comme $(AN) \perp (NB)$ et que $f$ conserve l'orthogonalité, les droites images $(OK)$ et $\Delta$ sont perpendiculaires en $N'$. Or, la droite $(NB)$ est également perpendiculaire à $(OK)$ au point $K$. Les droites $(N'K)$ et $\Delta$ sont donc confondues, d'où $(N'K) \perp (ON')$. Le triangle $AN'K$ est par conséquent rectangle en $N'$.

8. 7). Soient $E = A * N$ et $F = O * N'$. Démontrer que les points $E, I$ et $F$ sont alignés.

   Indice — Exprime $f(E)$ en utilisant la conservation du milieu par $f$.

   Correction

   L'homothétie $f$ conserve le milieu. Comme $E = A * N$, son image par $f$ est le milieu du segment $[f(A)f(N)] = [ON']$, c'est-à-dire le point $F$. On a donc $f(E) = F$.

   Par propriété de l'homothétie de centre $I$, le centre $I$, un point $E$ et son image $f(E) = F$ sont alignés. Les points $E, I$ et $F$ sont donc alignés.

9. 8). Déterminer l'ensemble des points $N'$ lorsque $N$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ privé de $A$ et $B$.

   Indice — Recherche l'image du diamètre $[AB]$ par $f$.

   Correction

   L'application $f$ est une homothétie de rapport $-\frac{1}{2}$ (de centre $I$ défini par $\vec{AI} = \frac{1}{3}\vec{AB}$). L'image d'un cercle par $f$ est donc un cercle dont le diamètre est l'image du diamètre initial.

   On calcule l'image des bornes du diamètre $[AB]$ :
   - Pour $M = A$ : $2\vec{AA'} = \vec{AB} = 2\vec{AO}$, donc $f(A) = O$.
   - Pour $M = B$ : $2\vec{BB'} = 2\vec{BA}$, soit $\vec{BB'} = \vec{BA}$, donc $f(B) = A$.

   L'image du cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$ est ainsi le cercle $\mathcal{C}'$ de diamètre $[OA]$. Par conséquent, lorsque $N$ décrit $\mathcal{C} \setminus \{A, B\}$, l'ensemble des points $N'$ est le cercle de diamètre $[OA]$ privé des points $O$ et $A$.

Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $D$ et $E$ tels que $$\vec{BC} = 2\vec{DE}$$.
Les droites $(CD)$ et $(BE)$ se coupent en un point $I$.
On désigne par $h$ l'homothétie de centre $I$ qui transforme $D$ en $C$.

Pour la figure, on prendra : $BC = 6\text{ cm}$, $DE = 3\text{ cm}$ avec des bases parallèles de même sens, et $A$ un point n'appartenant pas à ces droites.

1. 1)a). Montrer que le rapport de l'homothétie $h$ est $k = -2$.

   Indice — Que vaut le rapport de colinéarité entre $\vec{IC}$ et $\vec{ID}$ sachant que $I \in [CD]$ et $\vec{CB} = -2\vec{DE}$ ?

   Correction

   Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles car $\vec{BC} = 2\vec{DE}$. D'après le théorème de Thalès dans la configuration formée par les droites sécantes en $I$, et sachant que $I \in [CD]$, la relation sur les longueurs $BC = 2\,DE$ se traduit vectoriellement par $\vec{IC} = -2\vec{ID}$. Le rapport de l'homothétie $h$ est donc $k = -2$.

2. 1)b). En déduire que $h(E) = B$.

   Indice — Utilise la relation $\vec{IB} = \vec{IC} + \vec{CB}$ pour exprimer $\vec{IB}$ en fonction de $\vec{IE}$.

   Correction

   Par la relation de Chasles, on a $\vec{IB} = \vec{IC} + \vec{CB}$. En injectant $\vec{IC} = -2\vec{ID}$ et $\vec{CB} = -2\vec{DE}$, on calcule : $\vec{IB} = -2\vec{ID} - 2\vec{DE} = -2(\vec{ID} + \vec{DE}) = -2\vec{IE}$. On en déduit que $h(E) = B$.

3. 2). Déterminer l'image de la droite $(DE)$ par $h$.

   Indice — Quelle est la droite parallèle à $(DE)$ passant par $h(D)$ ?

   Correction

   On sait que $h(D) = C$ et $h(E) = B$. L'image de la droite $(DE)$ par l'homothétie $h$ est la droite passant par les images de ses points, c'est-à-dire la droite $(BC)$.

4. 3). Soit $\Delta$ la droite passant par $A$ et parallèle à $(BE)$. Déterminer l'image de la droite $\Delta$ par $h$.

   Indice — Remarque que $I \in (BE)$ et cherche la droite passant par $h(A)$ parallèle à $\Delta$.

   Correction

   L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. Comme $\Delta \parallel (BE)$, son image $h(\Delta)$ est une droite parallèle à $(BE)$ passant par le point $h(A)$.

5. 4). Soit $M$ le point d'intersection des droites $(DE)$ et $\Delta$. On note $M' = h(M)$. Montrer que $M'$ est le point d'intersection de la droite $(BC)$ et de la droite parallèle à $(BE)$ passant par $h(A)$.

   Indice — Si $M \in (DE) \cap \Delta$, que peut-on dire de $h(M)$ par rapport à $h((DE))$ et $h(\Delta)$ ?

   Correction

   Par conservation de l'intersection par l'homothétie $h$, on a $M' = h(M) = h((DE)) \cap h(\Delta)$.
   - L'image de la droite $(DE)$ est la droite $(BC)$ car $h(D) = C$ et $h(E) = B$.
   - La droite $\Delta$ passe par $A$ et est parallèle à $(BE)$. L'homothétie conserve le parallélisme, donc $h(\Delta)$ est la droite passant par $h(A)$ et parallèle à $h((BE))$. Comme $(BE)$ passe par le centre $I$, elle est globale invariant : $h((BE)) = (BE)$.

   Ainsi, $M'$ est bien le point d'intersection de $(BC)$ et de la parallèle à $(BE)$ passant par $h(A)$.

6. 5). En déduire que $\vec{IM'} = -2\vec{IM}$. Que peut-on dire des points $I, M$ et $M'$ ?

   Indice — Applique la définition vectorielle de l'image $M' = h(M)$.

   Correction

   L'homothétie $h$ a pour centre $I$ et pour rapport $-2$ (car $h(D) = C$ et $\vec{BC} = 2\vec{DE}$). Par définition vectorielle de l'homothétie, $M' = h(M)$ s'écrit directement $\vec{IM'} = -2\vec{IM}$.

   Cette relation vectorielle implique que les vecteurs $\vec{IM}$ et $\vec{IM'}$ sont colinéaires : les points $I$, $M$ et $M'$ sont donc alignés.

7. 6). Déterminer l'ensemble décrit par le point $M'$ lorsque le point $M$ parcourt le segment $[DE]$.

   Indice — Que vaut l'image du segment $[DE]$ par $h$ ?

   Correction

   L'image d'un segment par une homothétie est le segment ayant pour extrémités les images des extrémités initiales. Comme $h(D) = C$ et $h(E) = B$, l'image du segment $[DE]$ par $h$ est le segment $[CB]$.

   Par conséquent, lorsque $M$ parcourt le segment $[DE]$, le point $M'$ décrit le segment $[BC]$.