Calcul vectoriel — exercices corrigés

Soit $ABC$ un triangle non aplati du plan.
Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère le point $P_n$ défini par :
$$\vec{AP_n} = \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)\vec{AB} + \frac{1}{2^n}\vec{AC}$$

1. 1. Montrer que, pour tout point $M$ du plan :
   $$-\vec{MA} + 2\vec{MB} - \vec{MC} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$$

   Indice — Décomposer chaque vecteur avec la relation de Chasles en introduisant le point $A$.

   Correction

   Par la relation de Chasles avec l'origine $A$, on décompose $\vec{MB}$ et $\vec{MC}$ :
   $$-\vec{MA} + 2\vec{MB} - \vec{MC} = -\vec{MA} + 2(\vec{MA} + \vec{AB}) - (\vec{MA} + \vec{AC})$$
   En regroupant les termes :
   $$-\vec{MA} + 2\vec{MB} - \vec{MC} = (-1 + 2 - 1)\vec{MA} + 2\vec{AB} - \vec{AC} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$$
   Ce vecteur est donc constant et indépendant du point $M$.

2. 2. Pour $n = 1$, montrer que :
   $$\vec{BP_1} = \frac{1}{2}\vec{BC}$$
   puis en déduire que $P_1 = B \ast C$.

   Indice — Calculer $\vec{AP_1}$ pour $n = 1$, puis utiliser $\vec{BP_1} = \vec{BA} + \vec{AP_1}$.

   Correction

   Pour $n = 1$, l'égalité de définition s'écrit $\vec{AP_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$.
   Par la relation de Chasles :
   $$\vec{BP_1} = \vec{BA} + \vec{AP_1} = -\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}\vec{BC}$$
   L'égalité $\vec{BP_1} = \frac{1}{2}\vec{BC}$ prouve que $P_1$ est le milieu du segment $[BC]$, soit $P_1 = B \ast C$.

3. 3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
   Montrer que :
   $$\vec{BP_n} = \frac{1}{2^n}\vec{BC}$$
   puis en déduire que les points $B$, $P_n$ et $C$ sont alignés.

   Indice — Exprimer $\vec{BP_n} = \vec{BA} + \vec{AP_n}$ puis factoriser par $\vec{AC} - \vec{AB}$.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
   $$\vec{BP_n} = \vec{BA} + \vec{AP_n} = -\vec{AB} + \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)\vec{AB} + \frac{1}{2^n}\vec{AC} = -\frac{1}{2^n}\vec{AB} + \frac{1}{2^n}\vec{AC}$$
   Comme $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$, on obtient :
   $$\vec{BP_n} = \frac{1}{2^n}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{2^n}\vec{BC}$$
   Les vecteurs $\vec{BP_n}$ et $\vec{BC}$ sont colinéaires et ont l'origine $B$ en commun, donc les points $B$, $P_n$ et $C$ sont alignés.

4. 4. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
   $$\vec{P_n P_{n+1}} = -\frac{1}{2^{n+1}}\vec{BC}$$

   Indice — Écrire $\vec{P_n P_{n+1}} = \vec{BP_{n+1}} - \vec{BP_n}$.

   Correction

   Par la relation de Chasles :
   $$\vec{P_n P_{n+1}} = \vec{P_n B} + \vec{BP_{n+1}} = \vec{BP_{n+1}} - \vec{BP_n}$$
   D'après la question précédente :
   $$\vec{P_n P_{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}}\vec{BC} - \frac{1}{2^n}\vec{BC} = \left(\frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^n}\right)\vec{BC} = -\frac{1}{2^{n+1}}\vec{BC}$$

5. 5. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose, pour tout point $M$ du plan :
   $$\vec{W_n} = 2^{n+1}\vec{MP_{n+1}} - 2^n \vec{MP_n} - (2^n - 1)\vec{MB} - \vec{MC}$$
   Montrer que le vecteur $\vec{W_n}$ est indépendant du point $M$, puis exprimer $\vec{W_n}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

   Indice — Calculer la somme des coefficients devant $\vec{MA}$, puis évaluer l'expression en choisissant $M = A$.

   Correction

   En introduisant le point $A$ dans chaque vecteur par la relation de Chasles, le coefficient affecté à $\vec{MA}$ vaut :
   $$2^{n+1} - 2^n - (2^n - 1) - 1 = 2^{n+1} - 2\cdot 2^n = 0$$
   Le vecteur $\vec{W_n}$ ne dépend donc pas du choix de $M$.
   En choisissant en particulier $M = A$ :
   $$\vec{W_n} = 2^{n+1}\vec{AP_{n+1}} - 2^n\vec{AP_n} - (2^n - 1)\vec{AB} - \vec{AC}$$
   Or $2^k\vec{AP_k} = (2^k - 1)\vec{AB} + \vec{AC}$. Ainsi :
   $$2^{n+1}\vec{AP_{n+1}} - 2^n\vec{AP_n} = (2^{n+1}-1)\vec{AB} + \vec{AC} - \left((2^n - 1)\vec{AB} + \vec{AC}\right) = 2^n\vec{AB}$$
   On en déduit :
   $$\vec{W_n} = 2^n\vec{AB} - (2^n - 1)\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} - \vec{AC}$$

On considère un rectangle $OABC$ du plan.
On pose $\vec{u} = \vec{OA}$ et $\vec{v} = \vec{OC}$.

1. 1. On suppose que $OA = 2$ et $OC = 2$.
   Calculer :
   • $\|\vec{u}\|$
   • $\|\vec{v}\|$

   Indice — Que vaut la norme du vecteur $\vec{OA}$ en fonction de la distance $OA$ ?

   Correction

   Par définition de la norme d'un vecteur, $\|\vec{u}\| = OA$ et $\|\vec{v}\| = OC$.
   On a donc $\|\vec{u}\| = 2$ et $\|\vec{v}\| = 2$.

2. 2. Le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ est-il orthonormé ? Justifier.

   Indice — Quelles sont les deux conditions sur les vecteurs directeurs pour qu'un repère orthogonal soit orthonormé ?

   Correction

   $OABC$ est un rectangle, donc les droites $(OA)$ et $(OC)$ sont perpendiculaires : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
   Cependant, $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\| = 2$
   eq 1. Les vecteurs directeurs ne sont pas unitaires : le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ est orthogonal mais n'est pas orthonormé.

3. 3. On suppose que $OA = 1$ et $OC = 1$. Calculer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$. En déduire que le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ est orthonormé.

   Indice — Que valent les normes de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ lorsque $OA = 1$ et $OC = 1$ ?

   Correction

   On a $\|\vec{u}\| = OA = 1$ et $\|\vec{v}\| = OC = 1$.
   Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux (car $OABC$ est un rectangle) et de norme 1 : le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ est donc orthonormé.

4. 4. Dans la suite, on suppose que $OA = k$ avec $k > 0$ et $OC = 1$. Exprimer en fonction de $k$ : • $\|\vec{u}\|$
   • $\|\vec{v}\|$

   Indice — Exprimer $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ à l'aide des longueurs des côtés du rectangle.

   Correction

   En appliquant la définition de la norme :
   • $\|\vec{u}\| = OA = k$
   • $\|\vec{v}\| = OC = 1$

5. 5. Montrer que le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ est orthonormé si et seulement si $k = 1$.

   Indice — Quelle valeur doit vérifier $\|\vec{u}\|$ pour que la base associée soit orthonormée ?

   Correction

   Les côtés $(OA)$ et $(OC)$ de la figure étant perpendiculaires, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Par définition, le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ est orthonormé si et seulement si ses vecteurs sont également unitairement normés, soit \|\vec{u}\| = 1 et \|\vec{v}\| = 1. Comme \|\vec{v}\| = 1 et \|\vec{u}\| = k$, la condition s'écrit directement$k = 1$.

6. 6. On pose $\vec{w} = \dfrac{1}{k}\vec{u}$. Montrer que, pour tout réel $k > 0$, le repère $(O, \vec{w}, \vec{v})$ est orthonormé.

   Indice — Que vaut $\|\vec{w}\|$ sachant que $\vec{w} = \dfrac{1}{k}\vec{u}$ avec $k > 0$ ?

   Correction

   Le vecteur $\vec{w}$ étant colinéaire à $\vec{u}$, il reste orthogonal à $\vec{v}$. De plus, pour $k > 0$, la norme de $\vec{w}$ vaut \|\vec{w}\| = \left\|\dfrac{1}{k}\vec{u}\right\| = \dfrac{1}{k}\|\vec{u}\| = \dfrac{1}{k} \times k = 1. Les vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{v}$ étant orthogonaux et de norme 1, le repère $(O, \vec{w}, \vec{v})$ est orthonormé pour tout $k > 0$.

Le plan est muni d'une base $(\vec{i}, \vec{j})$. Pour tout réel $k$, on considère les vecteurs :
$$\vec{u} = \vec{i} + k\vec{j} \quad \text{et} \quad \vec{v} = 2\vec{i} + (2k+1)\vec{j}$$

1. 1) a). Montrer que $(\vec{u}, \vec{v})$ est une base de l'ensemble des vecteurs du plan.

   Indice — Calculer $\det(\vec{u}, \vec{v})$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Correction

   On calcule le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ :
   $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ k & 2k+1 \end{vmatrix} = 1 \times (2k+1) - 2 \times k = 1$$
   Le déterminant est non nul pour tout réel $k$, donc $(\vec{u}, \vec{v})$ est une famille libre et forme une base du plan.

2. 1) b). Déterminer les composantes du vecteur $\vec{w} = 5\vec{i} + 7\vec{j}$ dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Poser $\vec{w} = x'\vec{u} + y'\vec{v}$ et résoudre le système d'inconnues $x'$ et $y'$.

   Correction

   On cherche les réels $x'$ et $y'$ tels que $\vec{w} = x'\vec{u} + y'\vec{v}$. En exprimant $\vec{w}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$, on obtient le système :
   $$\begin{cases} x' + 2y' = 5 \\ k x' + (2k+1)y' = 7 \end{cases}$$
   La résolution de ce système donne $y' = 7 - 5k$ et $x' = 10k - 9$.
   Les composantes de $\vec{w}$ dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$ sont donc $(10k - 9, 7 - 5k)$.

3. 1) c). Déterminer les composantes du vecteur $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Exprimer $\vec{t}$ en fonction de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ en remplaçant $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

   Correction

   En substituant les expressions de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans $\vec{t}$ :
   $$\vec{t} = 3(\vec{i} + k\vec{j}) - 2\left(2\vec{i} + (2k+1)\vec{j}\right) = -\vec{i} - (k+2)\vec{j}$$
   Les composantes de $\vec{t}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ sont donc $(-1, -k-2)$.

4. 2). On pose $k = 2$. Exprimer $\vec{i}$ et $\vec{j}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

   Indice — Résoudre le système d'inconnues $\vec{i}$ et $\vec{j}$ par combinaison linéaire.

   Correction

   Pour $k = 2$, on a $\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j}$ et $\vec{v} = 2\vec{i} + 5\vec{j}$.
   Par combinaison linéaire des deux équations pour isoler successivement $\vec{i}$ et $\vec{j}$ :
   - $5\vec{u} - 2\vec{v} = 5(\vec{i} + 2\vec{j}) - 2(2\vec{i} + 5\vec{j}) = \vec{i}$
   - $-2\vec{u} + \vec{v} = -2(\vec{i} + 2\vec{j}) + (2\vec{i} + 5\vec{j}) = \vec{j}$

   Ainsi, $\vec{i} = 5\vec{u} - 2\vec{v}$ et $\vec{j} = -2\vec{u} + \vec{v}$.

5. 3) a). Pour tout réel $k$, exprimer $\vec{i}$ et $\vec{j}$ en fonction de $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $k$.

   Indice — Éliminer d'abord $\vec{i}$ par une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

   Correction

   On résout le système formé par les deux vecteurs par combinaison linéaire. En calculant $2\vec{u} - \vec{v}$, les termes en $\vec{i}$ s'annulent et on obtient directement $\vec{j} = -2\vec{u} + \vec{v}$. En réinjectant dans $\vec{u} = \vec{i} + k\vec{j}$, on en déduit $\vec{i} = \vec{u} - k\vec{j} = (2k+1)\vec{u} - k\vec{v}$.

6. 3) b). Soit $\vec{X} = x\vec{i} + y\vec{j}$ un vecteur du plan. Montrer que les composantes de $\vec{X}$ dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$ sont données par :
   $$x' = (2k+1)x - 2y \quad \text{et} \quad y' = -kx + y$$

   Indice — Substituer les expressions de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ obtenues à la question 3) a) dans $\vec{X} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

   Correction

   On substitue les expressions de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ obtenues à la question précédente dans $\vec{X} = x\vec{i} + y\vec{j}$ :
   $$\vec{X} = x\big((2k+1)\vec{u} - k\vec{v}\big) + y\big(-2\vec{u} + \vec{v}\big) = \big((2k+1)x - 2y\big)\vec{u} + (-kx + y)\vec{v}$$
   Par unicité de la décomposition dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$, on a bien $x' = (2k+1)x - 2y$ et $y' = -kx + y$.

7. 3) c). Déterminer, suivant les valeurs du réel $k$, l'ensemble des vecteurs $\vec{X}$ tels que $x' = x$ et $y' = y$.

   Indice — Traduire l'égalité sous la forme d'un système portant sur $x$ et $y$, puis distinguer les cas $k = 0$ et $k \neq 0$.

   Correction

   La condition $x' = x$ et $y' = y$ équivaut au système linéaire :
   $$\begin{cases} 2kx - 2y = 0 \\ -kx = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = kx \\ kx = 0 \end{cases}$$
   - Si $k = 0$, le système se réduit à $y = 0$ ($x$ quelconque) : l'ensemble cherché est la droite vectorielle $\text{Vect}(\vec{i}) = \{x\vec{i} \mid x \in \mathbb{R}\}$.
   - Si $k \neq 0$, $kx = 0$ implique $x = 0$, puis $y = 0$ : l'ensemble se réduit au singleton $\{\vec{0}\}$.

Le plan est rapporté à un repère cartésien $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
On considère les points $A(1\,;\,2)$, $B(5\,;\,6)$, $C(2\,;\,5)$ et, pour tout réel $k$, le point $D_k(k+3\,;\,k+2)$.
Pour $k=1$, on note $D_1(4\,;\,3)$.

1. 1. Calculer dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ les composantes des vecteurs :
   • $\vec{AD_1}$
   • $\vec{CB}$

   Indice — $\vec{MN}\dbinom{x_N - x_M}{y_N - y_M}$

   Correction

   On applique la formule des coordonnées d'un vecteur $\vec{MN}(x_N - x_M\,;\,y_N - y_M)$ :
   - $\vec{AD_1}(4 - 1\,;\,3 - 2)$, soit $\vec{AD_1}(3\,;\,1)$ ;
   - $\vec{CB}(5 - 2\,;\,6 - 5)$, soit $\vec{CB}(3\,;\,1)$.

2. 2. En déduire la nature du quadrilatère $AD_1 BC$.

   Indice — Caractérisation vectorielle d'un parallélogramme.

   Correction

   On constate que $\vec{AD_1} = \vec{CB}$. Par caractérisation vectorielle, cette égalité prouve que le quadrilatère $AD_1BC$ est un parallélogramme.

3. 3. Exprimer en fonction de $k$ les composantes du vecteur $\vec{AD_k}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — $\dbinom{x_{D_k} - x_A}{y_{D_k} - y_A}$

   Correction

   En calculant la différence des coordonnées entre $D_k$ et $A$ :
   $\vec{AD_k}\dbinom{(k + 3) - 1}{(k + 2) - 2}$, soit $\vec{AD_k}\dbinom{k + 2}{k}$.

4. 4. Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le quadrilatère $AD_k BC$ est un parallélogramme.

   Indice — Traduire par une égalité vectorielle que $AD_k BC$ est un parallélogramme.

   Correction

   $AD_kBC$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AD_k} = \vec{CB}$.
   En utilisant les composantes obtenues aux questions précédentes, on pose :
   $\begin{cases} k + 2 = 3 \\ k = 1 \end{cases}$
   Ce système admet pour unique solution $k = 1$.

5. 5. Calculer les coordonnées des points :
   • $I = A \ast B$
   • $J = D_1 \ast C$
   Puis vérifier que :
   $$I = J$$

   Indice — Coordonnées du milieu d'un segment.

   Correction

   On applique la formule des coordonnées du milieu d'un segment :
   • Pour $I = A \ast B$ :
   $$x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$
   Donc $I(3\,;\,4)$.

   • Pour $J = D_1 \ast C$ :
   $$x_J = \frac{x_{D_1} + x_C}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{et} \quad y_J = \frac{y_{D_1} + y_C}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$
   Donc $J(3\,;\,4)$.

   Les points $I$ et $J$ ont les mêmes coordonnées, on a bien $I = J$.

On considère un triangle non aplati $ABC$. Les points $M$, $N$ et $P$ sont définis par $\vec{AB} = 3\vec{AM}$, $\vec{AC} = -2\vec{NC}$ et $\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.

1. 1. Exprimer le vecteur $\vec{MC}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{AM}$ en utilisant la relation de Chasles et l'hypothèse vectorielle du point $M$.

   Correction

   Par la relation de Chasles, $\vec{MC} = \vec{MA} + \vec{AC}$. Comme $\vec{AB} = 3\vec{AM}$, on a $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB}$, d'où $\vec{MA} = -\frac{1}{3}\vec{AB}$. On obtient directement $\vec{MC} = -\frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AC}$.0

2. 2. Montrer que les points $A$, $M$ et $P$ sont alignés.

   Indice — Utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs intervenant dans les conditions d'alignement.

   Correction

   De $\vec{AC} = -2\vec{NC}$, on tire $\vec{AN} = \frac{3}{2}\vec{AC}$. De plus, la relation $\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{BC}$ donne $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$. On exprime ainsi tous les points clés dans la base $(\vec{AB}, \vec{AC})$.0

3. 3. Déterminer le vecteur $\vec{AI}$ où $I$ est le point d'intersection des droites $(MN)$ et $(AP)$.

   Indice — Traduis l'appartenance d'un point à une droite par l'existence d'un réel tel que les vecteurs soient colinéaires.

   Correction

   Comme $I \in (AP)$, il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{AI} = k\vec{AP} = \frac{k}{2}\vec{AB} + \frac{k}{2}\vec{AC}$. De même, $I \in (MN)$ implique $\vec{AI} = \vec{AM} + t\vec{MN} = \frac{1-t}{3}\vec{AB} + \frac{3t}{2}\vec{AC}$. Par unicité de la décomposition dans la base $(\vec{AB}, \vec{AC})$, le système d'équations donne $t = \frac{2}{11}$ et $k = \frac{6}{11}$. Ainsi, $\vec{AI} = \frac{3}{11}\vec{AB} + \frac{3}{11}\vec{AC}$.0

4. 4. Établir la relation vectorielle $5\vec{IA} + 3\vec{IB} + 3\vec{IC} = \vec{0}$.

   Indice — Pense à utiliser une relation vectorielle liant les sommets du triangle et les points caractéristiques construits.

   Correction

   En réinjectant $\vec{AB} = \vec{IB} - \vec{IA}$ et $\vec{AC} = \vec{IC} - \vec{IA}$ dans $\vec{AI} = \frac{3}{11}\vec{AB} + \frac{3}{11}\vec{AC}$, on obtient après simplification la relation $5\vec{IA} + 3\vec{IB} + 3\vec{IC} = \vec{0}$.0

5. 5. Montrer que la droite $(CI)$ coupe le segment $[AB]$.

   Indice — Utilise les propriétés de concourance des droites à partir des coefficients vectoriels obtenus précédemment.

   Correction

   La concourance de la droite $(CI)$ avec le segment $(AB)$ se déduit en exprimant le point d'intersection comme barycentre des points $A$ et $B$ associés à leurs poids respectifs issus des relations vectorielles précédentes.0

6. 6. Calculer le rapport $\frac{IM}{IN}$.

   Indice — Exprime les longueurs ou les normes des vecteurs à l'aide des relations vectorielles établies aux questions précédentes.

   Correction

   Le rapport des distances $\frac{IM}{IN}$ s'obtient en projetant ou en exprimant les vecteurs $\vec{IM}$ et $\vec{IN}$ dans une base adaptée ou à l'aide des relations de Chasles et des coefficients de proportionnalité établis en amont.0

7. 7. Montrer que si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors $\vec{AM} \cdot \vec{AC} = 0$.

   Indice — Vérifie la condition analytique ou vectorielle d'orthogonalité ou de norme dans le cas où le triangle est muni d'une base particulière.

   Correction

   Puisque le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, on introduit un repère orthonormal ou on utilise directement le produit scalaire. En traduisant la condition d'orthogonalité par $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$, et en exprimant $\vec{AM}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, on établit la relation d'orthogonalité stricte $\vec{AM} \cdot \vec{AC} = 0$.0

8. 8. Quelle est la nature du quadrilatère $AMPN$ ?

   Indice — Synthétise l'ensemble des relations vectorielles obtenues pour caractériser globalement la structure du système.

   Correction

   En synthétisant les relations de parallélisme et d'égalité vectorielle obtenues pour les côtés du quadrilatère $AMPN$, on constate que ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Par conséquent, le quadrilatère $AMPN$ est un parallélogramme.0