Calcul vectoriel — exercices corrigés

Dans le plan, on considère un triangle non aplati $ABC$.

Soit $D$ le point défini par la relation :
$$\vec{AD} - 2\vec{DC} = \vec{AB}$$

On considère le point $M_0$ tel que $\vec{AM_0} = \vec{AB} + 2\vec{AC}$.

Pour tout entier naturel $k$, on définit le vecteur $\vec{S}_k$ par :
$$\vec{S}_k = \vec{M_k A} + \vec{M_k B} - 2\vec{M_k C}$$

Le point $M_{k+1}$ est le point du plan vérifiant la relation :
$$5\vec{M_{k+1} A} + \vec{M_{k+1} M_k} - 4\vec{M_{k+1} C} = \vec{S}_k$$

1. 1. Démontrer que $\vec{AD} = \dfrac{1}{3}\vec{AB} + \dfrac{2}{3}\vec{AC}$.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{DC}$ en introduisant le point $A$ à l'aide de la relation de Chasles.

   Correction

   En utilisant la relation de Chasles pour décomposer $\vec{DC} = \vec{DA} + \vec{AC} = -\vec{AD} + \vec{AC}$, l'égalité initiale devient :
   $$\vec{AD} - 2(-\vec{AD} + \vec{AC}) = \vec{AB}$$

   En développant, on obtient $3\vec{AD} - 2\vec{AC} = \vec{AB}$, d'où :
   $$\vec{AD} = \dfrac{1}{3}\vec{AB} + \dfrac{2}{3}\vec{AC}$$

2. 2. Exprimer le vecteur $\vec{S}_k$ en fonction des seuls vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, et en déduire que $\vec{S}_k$ est indépendant du choix du point $M_k$.

   Indice — Choisis le point $A$ comme pivot unique et décompose les vecteurs $\vec{M_k B}$ et $\vec{M_k C}$.

   Correction

   Par la relation de Chasles, introduisons le point $A$ dans les vecteurs $\vec{M_k B}$ et $\vec{M_k C}$ :
   $$\vec{S}_k = \vec{M_k A} + (\vec{M_k A} + \vec{AB}) - 2(\vec{M_k A} + \vec{AC})$$

   Les termes en $\vec{M_k A}$ s'annulent ($1 + 1 - 2 = 0$), ce qui donne :
   $$\vec{S}_k = \vec{AB} - 2\vec{AC}$$

   Cette expression ne contient aucun terme dépendant de $M_k$, ce qui prouve que $\vec{S}_k$ est indépendant du choix du point $M_k$.

3. 3. Démontrer que pour tout entier naturel $k$, on a : $\vec{AM_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\vec{AM_k} - \dfrac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$.

   Indice — Décompose chaque vecteur du membre de gauche de la relation de passage en utilisant le point pivot $A$, puis utilise le résultat de la question précédente.

   Correction

   En exprimant tous les vecteurs du membre de gauche à l'aide du point originaire $A$ via la relation de Chasles, la relation de passage devient :
   $$5(-\vec{AM_{k+1}}) + (-\vec{AM_{k+1}} + \vec{AM_k}) - 4(-\vec{AM_{k+1}} + \vec{AC}) = \vec{S}_k$$

   En simplifiant le membre de gauche et en remplaçant $\vec{S}_k$ par $\vec{AB} - 2\vec{AC}$ (résultat de la question précédente), on obtient :
   $$-2\vec{AM_{k+1}} + \vec{AM_k} - 4\vec{AC} = \vec{AB} - 2\vec{AC}$$

   En isolant $\vec{AM_{k+1}}$, il vient :
   $$\vec{AM_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\vec{AM_k} - \dfrac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$$

4. 4. En déduire que pour tout entier naturel $k$, on a : $\vec{AM_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\vec{AM_k} - \dfrac{3}{2}\vec{AD}$.

   Indice — Compare le vecteur $-\dfrac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$ avec l'expression de $\vec{AD}$ obtenue à la question 1.

   Correction

   D'après la question 1, $\vec{AD} = \dfrac{1}{3}\vec{AB} + \dfrac{2}{3}\vec{AC}$, ce qui implique :
   $$-\dfrac{3}{2}\vec{AD} = -\dfrac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$$

   En remplaçant cette expression dans le résultat de la question 3, on en déduit directement :
   $$\vec{AM_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\vec{AM_k} - \dfrac{3}{2}\vec{AD}$$

5. 5. Déterminer les vecteurs $\vec{AM_1}$ et $\vec{AM_2}$ en fonction de $\vec{AD}$.

   Indice — Utilise la relation de la question 4 de proche en proche en partant de $\vec{AM_0} = 3\vec{AD}$.

   Correction

   En utilisant la relation $\vec{AM_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\vec{AM_k} - \dfrac{3}{2}\vec{AD}$ établie à la question 4 et sachant que $\vec{AM_0} = 3\vec{AD}$ :
   - Pour $k = 0$ : $\vec{AM_1} = \dfrac{1}{2}(3\vec{AD}) - \dfrac{3}{2}\vec{AD} = \vec{0}$.
   - Pour $k = 1$ : $\vec{AM_2} = \dfrac{1}{2}\vec{0} - \dfrac{3}{2}\vec{AD} = -\dfrac{3}{2}\vec{AD}$.

6. 6. On suppose qu'il existe une suite de réels $(u_k)_{k \ge 0}$ telle que pour tout entier naturel $k$, $\vec{AM_k} = u_k \vec{AD}$. Montrer que pour tout entier naturel $k$, on a : $u_{k+1} = \dfrac{1}{2}u_k - \dfrac{3}{2}$.

   Indice — Remplace $\vec{AM_k}$ et $\vec{AM_{k+1}}$ par leurs expressions en fonction de $\vec{AD}$ dans la relation de la question 4, puis utilise le fait que $\vec{AD} \neq \vec{0}$.

   Correction

   En injectant $\vec{AM_k} = u_k \vec{AD}$ et $\vec{AM_{k+1}} = u_{k+1} \vec{AD}$ dans la relation $\vec{AM_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\vec{AM_k} - \dfrac{3}{2}\vec{AD}$, on obtient :
   $$u_{k+1}\vec{AD} = \left(\dfrac{1}{2}u_k - \dfrac{3}{2}\right)\vec{AD}$$
   Comme le triangle $ABC$ est non aplati, $\vec{AD} \neq \vec{0}$. Par identification des coefficients, on en déduit la relation de récurrence : $$u_{k+1} = \dfrac{1}{2}u_k - \dfrac{3}{2}$$

7. 7. On pose, pour tout entier naturel $k$, $v_k = u_k + 3$. Démontrer que la suite $(v_k)_{k \ge 0}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

   Indice — Exprime $v_{k+1}$ en fonction de $u_{k+1}$, puis utilise la relation de récurrence de la question 6 pour faire apparaître $v_k$.

   Correction

   Pour tout $k \ge 0$, on exprime $v_{k+1}$ en fonction de $v_k$ :
   $$v_{k+1} = u_{k+1} + 3 = \left(\dfrac{1}{2}u_k - \dfrac{3}{2}\right) + 3 = \dfrac{1}{2}u_k + \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}(u_k + 3) = \dfrac{1}{2}v_k$$
   La suite $(v_k)_{k \ge 0}$ est donc une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$.

8. 8. Exprimer $u_k$ en fonction de $k$, puis en déduire l'expression du vecteur $\vec{AM_k}$ en fonction de $k$ et $\vec{AD}$.

   Indice — Détermine d'abord le premier terme $v_0$ à l'aide de la valeur de $u_0$, puis exprime $v_k$ puis $u_k$ en fonction de $k$.

   Correction

   D'après les questions précédentes, $u_0 = 3$ donc $v_0 = u_0 + 3 = 6$.
   Comme $(v_k)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$, le terme général s'écrit $v_k = v_0 \times q^k = 6 \left(\dfrac{1}{2}\right)^k$.

   On en déduit $u_k = v_k - 3 = 6 \left(\dfrac{1}{2}\right)^k - 3$.

   Par conséquent : $$\vec{AM_k} = \left(6 \left(\dfrac{1}{2}\right)^k - 3\right)\vec{AD}$$

9. 9. En déduire que pour tout entier naturel $k$, le point $M_k$ appartient à la droite $(AD)$.

   Indice — Quelle relation vectorielle caractérise l'appartenance d'un point à une droite passant par deux points distincts ?

   Correction

   On procède par récurrence sur $k$.

   **Initialisation :** Pour $k = 0$, la définition de $D$ donne $\vec{AB} + 2\vec{AC} = 3\vec{AD}$, d'où $\vec{AM_0} = 3\vec{AD}$. Les vecteurs $\vec{AM_0}$ et $\vec{AD}$ sont colinéaires, donc $M_0 \in (AD)$.

   **Hérédité :** Supposons que $M_k \in (AD)$ pour un entier $k$, c'est-à-dire $\vec{AM_k} = \lambda_k \vec{AD}$ avec $\lambda_k \in \mathbb{R}$.
   En simplifiant la relation définissant $M_{k+1}$, on obtient $\vec{AM_{k+1}} = \frac{1}{2}\vec{AM_k} - \frac{3}{2}\vec{AD}$. En injectant l'hypothèse de récurrence, il vient $\vec{AM_{k+1}} = \left(\frac{1}{2}\lambda_k - \frac{3}{2}\right)\vec{AD}$. Le vecteur $\vec{AM_{k+1}}$ est donc colinéaire à $\vec{AD}$, ce qui prouve que $M_{k+1} \in (AD)$.

   **Conclusion :** Par récurrence, pour tout $k \in \mathbb{N}$, le point $M_k$ appartient à la droite $(AD)$.

On considère dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ du plan les points $A(1\,;\,-3)$, $B(4\,;\,1)$ et $C(-1\,;\,3)$.

On définit également les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par :
$$\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC}$$
$$\vec{v} = \vec{AB} - \frac{3}{2}\vec{AC}$$

1. 1. Déterminer les composantes des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Calcule d'abord les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en utilisant la formule $\vec{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$, puis applique les combinaisons linéaires données.

   Correction

   On calcule d'abord les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
   $\vec{AB}\binom{4-1}{1-(-3)} = \vec{AB}\binom{3}{4}$ et $\vec{AC}\binom{-1-1}{3-(-3)} = \vec{AC}\binom{-2}{6}$.

   En appliquant les combinaisons linéaires définies par l'énoncé, on obtient :
   - $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \binom{-1}{3}$
   - $\vec{v} = \vec{AB} - \frac{3}{2}\vec{AC} = \binom{3}{4} - \binom{-3}{9} = \binom{6}{-5}$

2. 2. Montrer que $(\vec{u}, \vec{v})$ est une base de l'ensemble des vecteurs du plan.

   Indice — Calcule le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ et vérifie qu'il est non nul. Attention à l'ordre des termes dans la formule du déterminant.

   Correction

   On calcule le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ :
   $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} -1 & 6 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = (-1) \times (-5) - 3 \times 6 = 5 - 18 = -13$$

   Le déterminant étant non nul ($\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$), les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Ils forment donc une base du plan.

3. 3. Déterminer les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Exprime $\vec{AC}$ puis $\vec{AB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à l'aide des relations de définition données dans l'énoncé. Attention à la distribution des signes.

   Correction

   On exprime les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
   - De la relation $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, on tire directement : $\vec{AC} = 2\vec{u}$.
   - En substituant cette expression dans la définition de $\vec{v}$, on obtient :
   $$\vec{v} = \vec{AB} - \frac{3}{2}(2\vec{u}) = \vec{AB} - 3\vec{u} \iff \vec{AB} = 3\vec{u} + \vec{v}$$

   Dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$, les composantes sont donc :
   $\vec{AC}\binom{2}{0}$ et $\vec{AB}\binom{3}{1}$.

4. 4. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $ABC$, dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Utilise les formules des coordonnées du centre de gravité d'un triangle à partir de celles de ses sommets $A$, $B$ et $C$.

   Correction

   Les coordonnées du centre de gravité $G$ d'un triangle $ABC$ sont les moyennes arithmétiques des coordonnées de ses sommets :
   - $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 4 - 1}{3} = \frac{4}{3}$
   - $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{-3 + 1 + 3}{3} = \frac{1}{3}$

   On obtient ainsi $G\left(\frac{4}{3}\,;\,\frac{1}{3}\right)$.

5. 5. Déterminer les coordonnées du point $G$ dans le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en utilisant la relation vectorielle caractérisant le centre de gravité $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.

   Correction

   Par définition du centre de gravité $G$, on a la relation vectorielle : $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. En introduisant le point $A$ par la relation de Chasles, on obtient : $-\vec{AG} + (-\vec{AG} + \vec{AB}) + (-\vec{AG} + \vec{AC}) = \vec{0}$, soit $-3\vec{AG} + \vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$. On en déduit : $\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. Les coordonnées de $G$ dans le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$ sont donc $\left(\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\right)$.

6. 6. Déterminer dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ les coordonnées du point $E$ tel que $\vec{BE} \perp \vec{AC}$ et que le milieu du segment $[BE]$ appartienne à l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$.

   Indice — Traduis le fait que le milieu de $[BE]$ est sur l'axe des ordonnées pour trouver l'abscisse de $E$, puis utilise la condition d'orthogonalité $xx' + yy' = 0$ pour trouver son ordonnée.

   Correction

   Soit $E(x_E\,;\,y_E)$. Le milieu $M$ du segment $[BE]$ a pour abscisse $x_M = \frac{x_B + x_E}{2} = \frac{4 + x_E}{2}$. Puisque $M$ appartient à l'axe des ordonnées, son abscisse est nulle, ce qui donne $x_E = -4$. On calcule ensuite les coordonnées des vecteurs : $\vec{AC}\binom{-2}{6}$ et $\vec{BE}\binom{-8}{y_E - 1}$. La condition d'orthogonalité $\vec{BE} \cdot \vec{AC} = 0$ se traduit par $(-8) \times (-2) + (y_E - 1) \times 6 = 0$. En résolvant cette équation, on obtient $y_E = -\frac{5}{3}$. Les coordonnées de $E$ sont donc $E\left(-4\,;\,-\frac{5}{3}\right)$.

7. 7. Déterminer dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ les composantes des vecteurs unitaires et orthogonaux au vecteur $\vec{u}$.

   Indice — Soit $\vec{w}\binom{x}{y}$ un tel vecteur. Traduis l'orthogonalité avec $\vec{u}$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$, puis utilise la condition de norme unitaire $x^2 + y^2 = 1$. N'oublie pas que $\sqrt{y^2} = |y|$.

   Correction

   On a $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \binom{-1}{3}$. Soit $\vec{w}\binom{x}{y}$ un vecteur unitaire orthogonal à $\vec{u}$. L'orthogonalité se traduit par le produit scalaire nul : $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0 \implies -x + 3y = 0 \implies x = 3y$. La condition de norme unitaire impose $x^2 + y^2 = 1$. En remplaçant $x$, on obtient $10y^2 = 1$, d'où $y = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$. Les deux vecteurs recherchés sont donc $\vec{w}_1\binom{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$ et $\vec{w}_2\binom{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}$.

On considère dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan les points $A(2\,;\,-2)$, $B(3\,;\,1)$, $C(0\,;\,2)$ et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ définis par $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ et $\vec{v}=\vec{AB}-2\vec{AC}$.

1. 1. On considère dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan les points $A(2\,;\,-2)$, $B(3\,;\,1)$, $C(0\,;\,2)$ et les vecteurs définis par $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{AC}$ et $\vec{v}=\vec{AB}-2\vec{AC}$. Déterminer les composantes des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$.

   Indice — Utilise les coordonnées des points donnés pour déterminer les composantes de chaque vecteur bipoint, puis applique les règles de multiplication par un réel et de somme vectorielle.

   Correction

   On détermine d'abord les composantes des vecteurs de base $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
   $\vec{AB} = (3-2\,;\,1-(-2)) = (1\,;\,3)$ et $\vec{AC} = (0-2\,;\,2-(-2)) = (-2\,;\,4)$.

   En appliquant les définitions de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on obtient :
   - $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC} = (-1\,;\,2)$
   - $\vec{v} = \vec{AB} - 2\vec{AC} = (1 - 2(-2)\,;\,3 - 2(4)) = (5\,;\,-5)$

2. 2. Montrer que le système $(\vec{u},\vec{v})$ forme une base de l'ensemble des vecteurs du plan.

   Indice — Calcule le déterminant des deux vecteurs dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ en veillant à respecter l'ordre des composantes pour conclure sur leur non-colinéarité.

   Correction

   Pour montrer que $(\vec{u},\vec{v})$ est une base du plan, on calcule leur déterminant dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ :
   $\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (-1) \times (-5) - 2 \times 5 = 5 - 10 = -5$.

   Le déterminant étant non nul ($\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$), les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Ils forment donc une base du plan.

3. 3. Trouver les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$.

   Indice — Exprime les vecteurs initiaux de la base de référence en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en résolvant un système d'identification linéaire.

   Correction

   On exprime $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à partir des relations de définition :
   - De la relation $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, on déduit directement : $\vec{AC} = 2\vec{u}$. Les composantes de $\vec{AC}$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$ sont donc $(2\,;\,0)$.
   - En substituant cette expression dans la définition de $\vec{v}$, on obtient $\vec{v} = \vec{AB} - 2(2\vec{u}) = \vec{AB} - 4\vec{u}$, ce qui donne : $\vec{AB} = 4\vec{u} + \vec{v}$. Les composantes de $\vec{AB}$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$ sont donc $(4\,;\,1)$.

4. 4. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $ABC$, dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

   Indice — Applique la formule générale des coordonnées du centre de gravité d'un triangle à partir des coordonnées de ses sommets dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

   Correction

   Les coordonnées du centre de gravité $G(x_G\,;\,y_G)$ du triangle $ABC$ sont données par la moyenne arithmétique des coordonnées de ses sommets :
   - $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{2 + 3 + 0}{3} = \frac{5}{3}$
   - $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{-2 + 1 + 2}{3} = \frac{1}{3}$

   Le point $G$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{5}{3}\,;\,\frac{1}{3}\right)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

5. 5. Déterminer les coordonnées du point $G$ dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$.

   Indice — Utilise la relation vectorielle fondamentale liant le centre de gravité aux sommets du triangle dans le repère associé $(A,\vec{AB},\vec{AC})$.

   Correction

   Par définition, le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ vérifie la relation vectorielle $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. En exprimant cette relation à l'aide de vecteurs d'origine $A$, on obtient $\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$. Par conséquent, les coordonnées de $G$ dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$ sont $\left(\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\right)$.

6. 6. Soit $E$ un point du plan. Sachant que le milieu du segment $[BE]$ est situé sur l'axe des ordonnées $(O,\vec{j})$, déterminer l'abscisse du point $E$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

   Indice — Traduis le fait que le milieu d'un segment appartient à l'axe des ordonnées par l'annulation de son abscisse.

   Correction

   Soit $E(x_E\,;\,y_E)$ le point recherché. Le milieu $M$ du segment $[BE]$ a pour abscisse $x_M = \frac{x_B + x_E}{2}$. Comme $M$ appartient à l'axe des ordonnées, son abscisse est nulle, soit $\frac{3 + x_E}{2} = 0$. On en déduit directement l'abscisse de $E$ : $x_E = -3$.

7. 7. Sachant de plus que $\vec{BE} \perp \vec{AC}$, déterminer l'ordonnée du point $E$ et en déduire ses coordonnées complètes dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

   Indice — Utilise la condition analytique traduisant l'orthogonalité de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes dans un repère orthonormé.

   Correction

   On utilise le produit scalaire dans le repère orthonormé. On a $\vec{BE}(-6\,;\,y_E - 1)$ et $\vec{AC}(-2\,;\,4)$. L'orthogonalité $\vec{BE} \perp \vec{AC}$ se traduit par $\vec{BE} \cdot \vec{AC} = 0$, soit $(-6)(-2) + 4(y_E - 1) = 0$. La résolution de cette équation donne $y_E = -2$. Les coordonnées de $E$ sont donc $E(-3\,;\,-2)$.

8. 8. Déterminer dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ les composantes des vecteurs qui sont à la fois unitaires et orthogonaux au vecteur $\vec{u}$.

   Indice — Pose un vecteur général $\vec{w}(x\,;\,y)$, traduis son orthogonalité avec $\vec{u}$ puis combine avec la condition de norme unitaire.

   Correction

   On a $\vec{u}(-1\,;\,2)$. Soit $\vec{w}(x\,;\,y)$ un vecteur recherché. L'orthogonalité avec $\vec{u}$ impose $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0 \iff -x + 2y = 0 \iff x = 2y$. La condition de norme unitaire s'écrit $x^2 + y^2 = 1$. En substituant $x$, on obtient $5y^2 = 1$, d'où $y = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$. Les deux vecteurs solutions sont donc $\vec{w}_1\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ et $\vec{w}_2\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.

Dans le plan vectoriel muni d'une base $(\vec{i}, \vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u}\binom{1}{1}$ et $\vec{v}\binom{1}{-1}$.

Pour tout réel $m$, on définit les vecteurs $\vec{A}_m$ et $\vec{B}_m$ par :
$$\vec{A}_m = (m+1)\vec{u} + 2\vec{v}$$
$$\vec{B}_m = \vec{u} + m\vec{v}$$

1. 1. Développer l'expression de $\vec{A}_m$ pour l'écrire sous la forme $m\vec{u} + \vec{w}$ où $\vec{w}$ est un vecteur indépendant de $m$ exprimé en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

   Indice — Regarde comment séparer le paramètre $m$ : $(m+1)\vec{u} = m\vec{u} + \vec{u}$.

   Correction

   En distribuant $\vec{u}$, l'expression devient $\vec{A}_m = m\vec{u} + \vec{u} + 2\vec{v}$. On obtient la forme voulue $\vec{A}_m = m\vec{u} + \vec{w}$ avec $\vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v}$.

2. 2. Déterminer les composantes des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$, puis en déduire les composantes des vecteurs $\vec{A}_m$ et $\vec{B}_m$ en fonction de $m$.

   Indice — Si $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$, quelles sont les composantes de $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ ?

   Correction

   Les composantes données sont $\vec{u}\binom{1}{1}$ et $\vec{v}\binom{1}{-1}$.
   Par combinaison linéaire, on calcule :
   • Pour $\vec{A}_m = (m+1)\vec{u} + 2\vec{v}$ : $x = (m+1) + 2 = m+3$ et $y = (m+1) - 2 = m-1$, soit $\vec{A}_m\binom{m+3}{m-1}$.
   • Pour $\vec{B}_m = \vec{u} + m\vec{v}$ : $x = 1 + m$ et $y = 1 - m$, soit $\vec{B}_m\binom{m+1}{1-m}$.

3. 3. Montrer que les vecteurs $\vec{A}_m$ et $\vec{B}_m$ sont colinéaires si et seulement si $m^2 + m - 2 = 0$, puis déterminer les valeurs de $m$ correspondantes.

   Indice — Calcule le déterminant $\det(\vec{A}_m, \vec{B}_m) = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}$ et étudie son annulation. Attention au développement de $-(m-1)(m+1)$.

   Correction

   Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
   $$\det(\vec{A}_m, \vec{B}_m) = (m+3)(1-m) - (m-1)(m+1) = 0$$
   Le développement donne $-2(m^2 + m - 2) = 0$, ce qui équivaut à $m^2 + m - 2 = 0$.
   En résolvant cette équation du second degré, on obtient les valeurs $m = 1$ et $m = -2$.

4. 4. Montrer que les vecteurs $\vec{A}_m$ et $\vec{B}_m$ sont orthogonaux si et seulement si $6m + 2 = 0$, puis en déduire la valeur de $m$.

   Indice — Quelle relation lie les composantes de deux vecteurs orthogonaux ? Attention à la distribution du signe moins dans le produit $(m-1)(-m+1)$.

   Correction

   Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
   $$\vec{A}_m \cdot \vec{B}_m = (m+3)(m+1) + (m-1)(1-m) = 0$$
   En développant, on obtient $(m^2 + 4m + 3) + (-m^2 + 2m - 1) = 0$, soit $6m + 2 = 0$.
   On en déduit directement $m = -\frac{1}{3}$.

5. 5. Déterminer s'il existe une valeur du réel $m$ pour laquelle les vecteurs $\vec{A}_m$ et $\vec{B}_m$ sont simultanément colinéaires et orthogonaux.

   Indice — Existe-t-il un réel $m$ appartenant à la fois à l'ensemble des solutions de la question 3) et à celui de la question 4) ?

   Correction

   Deux vecteurs sont simultanément colinéaires et orthogonaux si et seulement si l'un des deux au moins est le vecteur nul, ce qui correspond à l'intersection des ensembles de solutions des questions précédentes (conditions de colinéarité et d'orthogonalité).

   En croisant les valeurs de $m$ obtenues aux questions 3 et 4, on constate qu'aucun réel $m$ ne vérifie simultanément les deux conditions. Par conséquent, il n'existe aucune valeur de $m$ pour laquelle $\vec{A}_m$ et $\vec{B}_m$ sont à la fois colinéaires et orthogonaux.

On considère des vecteurs et des configurations géométriques dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. 1. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Simplifier l'expression vectorielle : $\vec{w} = 3(\vec{u} - 2\vec{v}) - [4\vec{u} - (2\vec{u} + \vec{v})]$.

   Indice — Pense à développer les parenthèses en faisant attention aux signes moins, puis regroupe les termes en $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

   Correction

   On développe l'expression en distribuant les coefficients et en appliquant les règles de suppression des parenthèses et crochets :
   $$\vec{w} = (3\vec{u} - 6\vec{v}) - (2\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} - 5\vec{v}$$

2. 2. On considère dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan les points $A(2\,;\,-2)$, $B(3\,;\,1)$ et $C(0\,;\,2)$. Soit les vecteurs $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC}$ et $\vec{v} = \vec{AB} - 2\vec{AC}$. Déterminer les composantes des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$.

   Indice — Utilise les coordonnées des points donnés pour déterminer les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis applique les définitions des combinaisons linéaires.

   Correction

   On détermine les composantes des vecteurs de référence : $\vec{AB}(1\,;\,3)$ et $\vec{AC}(-2\,;\,4)$.
   Par combinaison linéaire, on obtient :
   - $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC} = (-1\,;\,2)$
   - $\vec{v} = \vec{AB} - 2\vec{AC} = (5\,;\,-5)$

3. 3. Montrer que le couple de vecteurs $(\vec{u},\vec{v})$ forme une base de l'ensemble des vecteurs du plan.

   Indice — Calcule le déterminant des deux vecteurs dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ en posant $\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y$.

   Correction

   On calcule le déterminant du couple $(\vec{u},\vec{v})$ dans la base canonique :
   $$\det(\vec{u},\vec{v}) = (-1) \times (-5) - 2 \times 5 = -5$$
   Le déterminant étant non nul, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Le couple $(\vec{u},\vec{v})$ forme donc une base du plan.

4. 4. Trouver les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans la nouvelle base $(\vec{u},\vec{v})$.

   Indice — Exprime les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en résolvant un système vectoriel ou par substitution directe.

   Correction

   D'après la définition de $\vec{u}$, on a directement $\vec{AC} = 2\vec{u}$, d'où les composantes $(2\,;\,0)$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$.
   En isolant $\vec{AB}$ dans l'expression de $\vec{v}$, on obtient $\vec{AB} = 2\vec{AC} + \vec{v} = 4\vec{u} + \vec{v}$, d'où les composantes $(4\,;\,1)$.

5. 5. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $ABC$, d'abord dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ puis dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$.

   Indice — Pour le repère cartésien, calcule la moyenne arithmétique des coordonnées des trois sommets. Pour le repère défini par les vecteurs, utilise la relation vectorielle du centre de gravité.

   Correction

   Dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, le centre de gravité $G$ a pour coordonnées la moyenne arithmétique de celles des sommets du triangle $ABC$ :
   $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$ et $y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$.

   Dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$, on utilise la relation vectorielle de définition du centre de gravité : $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. En décomposant les vecteurs par la relation de Chasles à l'aide du point $A$, on obtient :
   $-\vec{AG} + (\vec{AB} - \vec{AG}) + (\vec{AC} - \vec{AG}) = \vec{0} \iff 3\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AC} \iff \vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$.
   Les coordonnées de $G$ dans ce repère sont donc $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$.

6. 6. Déterminer dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ les coordonnées du point $E$ tel que le vecteur $\vec{BE}$ soit orthogonal au vecteur $\vec{AC}$ et que le milieu du segment $[BE]$ appartienne à l'axe des ordonnées $(O,\vec{j})$.

   Indice — Traduis l'appartenance du milieu au premier axe par la nullité de son abscisse, puis traduis l'orthogonalité par la nullité du produit scalaire des composantes.

   Correction

   Soit $E(x_E, y_E)$ le point recherché.
   Le milieu du segment $[BE]$ appartient à l'axe des ordonnées $(O,\vec{j})$ si et seulement si son abscisse est nulle, ce qui se traduit par :
   $\frac{x_B + x_E}{2} = 0 \iff x_E = -x_B$.

   Pour l'orthogonalité, le produit scalaire $\vec{BE} \cdot \vec{AC}$ doit être nul :
   $(x_E - x_B)x_{\vec{AC}} + (y_E - y_B)y_{\vec{AC}} = 0$.

   En substituant $x_E = -x_B$ dans cette équation, on obtient :
   $-2x_B \cdot x_{\vec{AC}} + (y_E - y_B)y_{\vec{AC}} = 0$.
   Sous réserve que $y_{\vec{AC}} \neq 0$, la résolution de cette équation donne l'ordonnée de $E$ :
   $y_E = y_B + \frac{2x_B \cdot x_{\vec{AC}}}{y_{\vec{AC}}}$.

7. 7. Déterminer dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ les composantes des vecteurs qui sont à la fois unitaires et orthogonaux au vecteur $\vec{u}$.

   Indice — Écris qu'un vecteur inconnu est orthogonal à $\vec{u}$ grâce au produit scalaire nul, puis impose que sa norme soit égale à $1$.

   Correction

   Soit $\vec{u}(x, y)$ un vecteur non nul de la base et $\vec{v}(a, b)$ un vecteur recherché.
   L'orthogonalité entre $\vec{v}$ et $\vec{u}$ se traduit par un produit scalaire nul : $ax + by = 0$. Cela implique que $\vec{v}$ est colinéaire au vecteur de coordonnées $(-y, x)$. On peut donc écrire $\vec{v} = k(-y, x)$ pour un certain réel $k$.

   La condition d'unitarité s'écrit $\|\vec{v}\|^2 = 1$, soit $k^2(x^2 + y^2) = 1$, ce qui donne $k = \pm \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (ou $\pm \frac{1}{\|\vec{u}\|}$).

   Les deux vecteurs unitaires et orthogonaux à $\vec{u}$ ont donc pour composantes :
   $\vec{v}_1 = \left(\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ et $\vec{v}_2 = \left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.