Point de départ · 1

On applique le même glissement de vecteur $\vec{u}$ aux points $A$ et $B$ pour obtenir $A'$ et $B'$ . Que peut-on dire des vecteurs $\vec{AA'}$ et $\vec{BB'}$ ?

Remarque

Tous les points du plan subissent le même déplacement : le vecteur qui relie chaque point à son image est toujours égal au vecteur constant $\vec{u}$ .

Définition · 2

Définition vectorielle de la translation

Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan.

$t_{\vec{u}} : P \to P, \; M \mapsto M' \iff \vec{MM'} = \vec{u}$

$M'$ est l'image de $M$ par la translation $t_{\vec{u}}$ , et $M$ est l'antécédent de $M'$ .

t_{\vec{0}} = \text{id}_P \quad \text{et} \quad t_{\vec{u}}(M) = M' \iff t_{-\vec{u}}(M') = M

Exemple travaillé · 3

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points non alignés et $D = t_{\vec{AC}}(B)$ . Démontre que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

1

On traduit la définition de l'image par translation en égalité vectorielle.

2

D = t_{\vec{AC}}(B) \iff \vec{BD} = \vec{AC}

3

L'égalité $\vec{AC} = \vec{BD}$ signifie que les segments opposés $[AC]$ et $[BD]$ sont parallèles, de même longueur et de même sens.

4

\vec{AC} = \vec{BD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}

Piège classique · 4

Si $t_{\vec{AB}}(C) = D$ , quel quadrilatère est un parallélogramme ?

Attention

Écrire machinalement que $ABCD$ est un parallélogramme.

À la place : L'égalité $\vec{CD} = \vec{AB}$ impose que $[AB]$ et $[CD]$ soient opposés et de même sens. Le quadrilatère formé est $ABDC$ (ou $CDBA$ ), et non $ABCD$ qui serait croisé.

Piège classique · 5

Soit un vecteur $\vec{u}$ et un point $B'$ . On cherche le point $B$ , antécédent de $B'$ par la translation $t_{\vec{u}}$ . Quelle égalité vectorielle permet de construire $B$ à partir de $B'$ ?

Attention

Écrire $\vec{B'B} = \vec{u}$ en ajoutant le vecteur $\vec{u}$ à partir du point connu $B'$ .

À la place : $B$ est l'antécédent de $B'$ signifie $t_{\vec{u}}(B) = B'$ , soit $\vec{BB'} = \vec{u}$ . En inversant pour partir de $B'$ , on obtient $\vec{B'B} = -\vec{u}$ .

Vérification · 6

Soit $MNPQ$ un parallélogramme. Complète les égalités :

Remarque

Dans le parallélogramme $MNPQ$ , on a $\vec{MN} = \vec{QP}$ , donc $t_{\vec{MN}}(Q) = P$ . De plus, $\vec{MQ} = \vec{NP}$ , donc l'antécédent de $Q$ par $t_{\vec{NP}}$ est $M$ car $t_{\vec{NP}}(M) = Q$ .

Définition · 7

Propriété caractéristique de la translation

Une application $f$ du plan dans lui-même est une translation si et seulement si elle conserve les vecteurs formés par n'importe quel couple de points et leurs images.

$f \text{ est une translation} \iff \forall M, N \in P, \; \vec{M'N'} = \vec{MN}$

Remarque

Si cette égalité vectorielle est vérifiée pour tous points $M$ et $N$ , alors le vecteur de déplacement $\vec{MM'}$ est identique pour tout point du plan.

Point de départ · 8

Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\vec{MM'} = 2\vec{MA} - 2\vec{MB}$ . Quelle est l'expression simplifiée de ce vecteur déplacement ?

Remarque

On factorise par 2 : $2(\vec{MA} - \vec{MB}) = 2(\vec{MA} + \vec{BM}) = 2\vec{BA}$ . Le point mobile $M$ a totalement disparu : le vecteur déplacement est constant, donc $f$ est la translation de vecteur $2\vec{BA}$ .

Exemple travaillé · 9

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points distincts. Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ associe $M'$ tel que $\vec{MM'} = 3\vec{MA} - 2\vec{MB} - \vec{MC}$ . Démontre que $f$ est une translation et précise son vecteur.

1

On utilise la relation de Chasles en choisissant le point fixe $A$ comme pivot pour décomposer $\vec{MB}$ et $\vec{MC}$ .

2

\vec{MM'} = 3\vec{MA} - 2(\vec{MA} + \vec{AB}) - (\vec{MA} + \vec{AC})

3

On développe et on regroupe les termes contenant le point mobile $M$ .

4

\vec{MM'} = (3 - 2 - 1)\vec{MA} - 2\vec{AB} - \vec{AC} = -2\vec{AB} - \vec{AC}

5

Le vecteur $-2\vec{AB} - \vec{AC}$ ne dépend pas du point $M$ : il est constant. Donc $f$ est la translation de vecteur $-2\vec{AB} - \vec{AC}$ .

Piège classique · 10

Face à l'expression $\vec{v} = 3\vec{MA} - 2\vec{MB} - \vec{MC}$ , pourquoi est-il impossible de réduire cette somme en introduisant un barycentre $G$ ?

Attention

Chercher un barycentre $G$ en posant $3\vec{GA} - 2\vec{GB} - \vec{GC} = \vec{0}$ .

À la place : Le barycentre d'un système pondéré n'existe que si la somme des coefficients est non nulle. Ici, $3 + (-2) + (-1) = 0$ : le système n'admet aucun barycentre, mais la somme vectorielle est constante et définit une translation.

Exemple travaillé · 11

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $a \in \mathbb{R}$ . À tout point $M$ , on associe $M'$ tel que $\vec{MM'} = (a^2-1)\vec{MA} - \vec{AB}$ . Détermine les valeurs du réel $a$ pour lesquelles cette application est une translation.

1

Pour que l'application soit une translation, le vecteur $\vec{MM'}$ doit être constant, c'est-à-dire indépendant de la position de $M$ .

2

Le seul terme dépendant de $M$ est $(a^2-1)\vec{MA}$ . Pour qu'il s'annule quel que soit le point $M$ , son coefficient doit être nul.

3

a^2 - 1 = 0 \iff a = 1 \quad \text{ou} \quad a = -1

4

Pour $a \in \{-1 \;;\; 1\}$ , on a $\vec{MM'} = -\vec{AB} = \vec{BA}$ . L'application est alors la translation de vecteur $\vec{BA}$ .

Vérification · 12

Soit $g$ l'application qui à $M$ associe $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{MA} + \vec{MB} - 2\vec{MC}$ . Quel est le vecteur constant de cette translation ?

Remarque

En introduisant $C$ avec la relation de Chasles : $\vec{MM'} = (\vec{MC} + \vec{CA}) + (\vec{MC} + \vec{CB}) - 2\vec{MC} = \vec{CA} + \vec{CB}$ .

Définition · 13

Image d'une droite et conservation des directions

L'image d'une droite par une translation est toujours une droite qui lui est parallèle.

$t_{\vec{u}}((D)) = (D') \implies (D') \parallel (D)$

La translation conserve le parallélisme et l'orthogonalité :

(D_1) \parallel (D_2) \implies t_{\vec{u}}((D_1)) \parallel t_{\vec{u}}((D_2))

(D_1) \perp (D_2) \implies t_{\vec{u}}((D_1)) \perp t_{\vec{u}}((D_2))

Exemple travaillé · 14

Soit $ABCD$ un parallélogramme. Détermine l'image de la droite $(AB)$ par la translation $t_{\vec{AC}}$ .

1

On cherche l'image d'un point connu appartenant à la droite $(AB)$ .

2

A \in (AB) \quad \text{et} \quad t_{\vec{AC}}(A) = C

3

L'image de la droite $(AB)$ est la droite parallèle à $(AB)$ passant par le point image $C$ .

4

Dans le parallélogramme $ABCD$ , la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ est la droite $(CD)$ .

5

t_{\vec{AC}}((AB)) = (CD)

Piège classique · 15

Soit un triangle $ABC$ et $\Delta$ la droite parallèle à $(BC)$ passant par $A$ . Quelle est l'image de la droite $\Delta$ par la translation $t_{\vec{BC}}$ ?

Attention

Penser que la translation déplace nécessairement la droite $\Delta$ en une nouvelle droite parallèle distincte.

À la place : Le vecteur de translation $\vec{BC}$ est parallèle à la droite $\Delta$ . Tout point de $\Delta$ est translaté en un point qui reste sur $\Delta$ . La droite est globalement invariante : $t_{\vec{BC}}(\Delta) = \Delta$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $ABCD$ un rectangle et $M$ un point du plan n'appartenant pas à $(AB)$ . On note $(D)$ la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $M$ . Détermine l'image de la droite $(D)$ par la translation $t_{\vec{AD}}$ .

1

$ABCD$ est un rectangle, donc les côtés opposés sont perpendiculaires aux côtés adjacents : $(AD) \perp (AB)$ .

2

Par hypothèse, $(D) \perp (AB)$ . Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.

3

(D) \parallel (AD)

4

Le vecteur de translation $\vec{AD}$ est donc un vecteur directeur de la droite $(D)$ .

5

t_{\vec{AD}}((D)) = (D)

Vérification · 17

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ . Quelle est l'image de la droite $(AC)$ par la translation $t_{\vec{AO}}$ ?

Remarque

Le vecteur $\vec{AO}$ est porté par la droite $(AC)$ (car $O \in [AC]$ ). La translation s'effectue le long de la droite : $(AC)$ est globalement invariante, son image est donc $(AC)$ elle-même.

Définition · 18

Conservation de l'alignement, du milieu et du barycentre

La translation conserve les relations barycentriques et les positions relatives des points sur une droite.

$A, B, C \text{ alignés} \implies t_{\vec{u}}(A), t_{\vec{u}}(B), t_{\vec{u}}(C) \text{ alignés}$

I = A * B \implies t_{\vec{u}}(I) = t_{\vec{u}}(A) * t_{\vec{u}}(B)

G = \text{bar}\{(A, a), (B, b)\} \implies t_{\vec{u}}(G) = \text{bar}\{(t_{\vec{u}}(A), a), (t_{\vec{u}}(B), b)\}

Exemple travaillé · 19

Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$ et $t$ la translation de vecteur $\vec{BA}$ . On pose $H = t(B)$ , $K = t(I)$ et $C' = t(C)$ . Démontre que $K$ est le milieu du segment $[AC']$ .

1

On détermine l'image de chaque point par la translation $t$ .

2

t(B) = A \quad (\text{car } \vec{BA} = \vec{BA}), \quad t(I) = K \quad \text{et} \quad t(C) = C'

3

Par hypothèse, $I$ est le milieu du segment $[BC]$ .

4

La translation conserve le milieu d'un segment : l'image du milieu est le milieu des images.

5

I = B * C \implies t(I) = t(B) * t(C) \iff K = A * C'

Piège classique · 20

Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés. On note $A'$ , $B'$ , $C'$ leurs images respectives par une translation $t_{\vec{u}}$ . Quelle est la méthode la plus directe pour justifier que $A'$ , $B'$ , $C'$ sont alignés ?

Attention

Calculer les vecteurs $\vec{A'B'}$ et $\vec{A'C'}$ avec la relation de Chasles pour démontrer à nouveau leur colinéarité.

À la place : Puisque $A, B, C$ sont alignés, la conservation de l'alignement par translation permet de conclure immédiatement que $A', B', C'$ sont alignés, sans refaire de calcul vectoriel.

Définition · 21

Conservation des distances et isométrie

La translation est une isométrie : elle conserve les distances, les mesures des angles géométriques et les aires.

$t_{\vec{u}}(A) = A' \quad \text{et} \quad t_{\vec{u}}(B) = B' \implies A'B' = AB$

\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}

Remarque

L'image d'un polygone par une translation est un polygone superposable (isométrique) de même nature et de mêmes dimensions.

Exemple travaillé · 22

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ . Soient $A'$ , $B'$ , $C'$ les images respectives de $A$ , $B$ , $C$ par une translation $t_{\vec{u}}$ . Démontre que le triangle $A'B'C'$ est isocèle en $A'$ .

1

La translation conserve les distances entre tous les points du plan.

2

A'B' = AB \quad \text{et} \quad A'C' = AC

3

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ , donc $AB = AC$ .

4

Par égalité des longueurs translatées :

5

A'B' = AB = AC = A'C' \implies A'B' = A'C'

6

Le triangle $A'B'C'$ possède deux côtés de même longueur, il est donc isocèle en $A'$ .

Vérification · 23

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A, 2)$ et $(B, 3)$ . On applique une translation $t_{\vec{u}}$ qui transforme $A$ en $A'$ , $B$ en $B'$ et $G$ en $G'$ . Complète les propriétés de l'image :

Remarque

La translation conserve les coefficients barycentriques : $G'$ est le barycentre de $(A', 2)$ et $(B', 3)$ . Tout barycentre de deux points appartient à la droite qui les relie, donc $A'$ , $B'$ et $G'$ sont alignés.

Définition · 24

Image d'un cercle et conservation du contact

L'image d'un cercle par une translation est un cercle de même rayon, dont le centre est l'image du centre initial.

$t_{\vec{u}}(\mathcal{C}(O, R)) = \mathcal{C}'(O', R) \quad \text{avec} \quad O' = t_{\vec{u}}(O)$

La translation conserve le contact et les tangentes :

(\Delta \text{ tangente à } \mathcal{C} \text{ en } M) \implies (t_{\vec{u}}(\Delta) \text{ tangente à } t_{\vec{u}}(\mathcal{C}) \text{ en } t_{\vec{u}}(M))

Exemple travaillé · 25

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ . Soient $A$ et $B$ deux points fixes. Pour tout point $M$ variable sur $\mathcal{C}$ , on construit le point $N$ tel que $\vec{MN} = \vec{AB}$ . Détermine l'ensemble décrit par le point $N$ lorsque $M$ décrit $\mathcal{C}$ .

1

L'égalité vectorielle $\vec{MN} = \vec{AB}$ caractérise une translation.

2

N = t_{\vec{AB}}(M)

3

Le point $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}(O, R)$ . Par conséquent, son image $N$ décrit l'image du cercle $\mathcal{C}$ par la translation $t_{\vec{AB}}$ .

4

t_{\vec{AB}}(\mathcal{C}(O, R)) = \mathcal{C}'(O', R) \quad \text{avec} \quad O' = t_{\vec{AB}}(O)

5

Le lieu géométrique des points $N$ est le cercle $\mathcal{C}'$ de centre $O' = t_{\vec{AB}}(O)$ et de même rayon $R$ .

Piège classique · 26

Soit $H$ l'orthocentre d'un triangle $ABM$ , défini comme l'intersection de deux hauteurs $(D_1)$ et $(D_2)$ . Pour déterminer l'image de $H$ par une translation $t$ , quelle est la démarche rigoureuse ?

Attention

Chercher à calculer directement une relation vectorielle pour le point isolé $H$ sans utiliser les droites qui le définissent.

À la place : Puisque $H = (D_1) \cap (D_2)$ , son image est l'intersection des droites translatées : $t(H) = t(D_1) \cap t(D_2)$ . Il suffit de déterminer les images des deux hauteurs sécantes.

Exemple travaillé · 27

Soient $I$ et $J$ deux points distincts du plan. Pour tout point $M$ , on pose $M_1 = S_I(M)$ et $M' = S_J(M_1)$ . Démontre que l'application $t = S_J \circ S_I$ est une translation dont on précisera le vecteur.

1

On traduit les symétries centrales en égalités vectorielles à partir des milieux.

2

M_1 = S_I(M) \iff \vec{MM_1} = 2\vec{IM_1} \quad \text{et} \quad M' = S_J(M_1) \iff \vec{M_1M'} = 2\vec{M_1J}

3

On utilise la relation de Chasles pour exprimer le déplacement global $\vec{MM'}$ .

4

\vec{MM'} = \vec{MM_1} + \vec{M_1M'} = 2\vec{IM_1} + 2\vec{M_1J} = 2(\vec{IM_1} + \vec{M_1J}) = 2\vec{IJ}

5

Le vecteur $2\vec{IJ}$ est constant et indépendant du point $M$ . L'application $S_J \circ S_I$ est donc la translation de vecteur $2\vec{IJ}$ .

Vérification · 28

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $4$ . Si $t$ est la translation de vecteur $\vec{u}$ , quelles sont les caractéristiques du cercle image $\mathcal{C}' = t(\mathcal{C})$ ?

Remarque

La translation conserve les dimensions : le rayon reste égal à $4$ . Le nouveau centre est le point image $O' = t(O)$ , tel que $\vec{OO'} = \vec{u}$ .

Translations — cours

Le cours

Définition vectorielle de la translation

Propriété caractéristique de la translation

Image d'une droite et conservation des directions

Conservation de l'alignement, du milieu et du barycentre

Conservation des distances et isométrie

Image d'un cercle et conservation du contact

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